Векторное произведение. Упорядоченная тройка векторов , , пространства называется правой, если при совмещении их начал в одной точке из конца вектора поворот от к наблюдается

Упорядоченная тройка векторов , , пространства называется правой, если при совмещении их начал в одной точке из конца вектора поворот от к наблюдается против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Эта характеристика называется ориентацией тройки векторов.

Если векторы в тройке сдвинуть по кругу, то ориентация не изменится. Если же поменять местами два вектора, то ориентация изменится на противоположную.

Векторным произведением векторов и называется вектор = ´ такой, что:

(a) , где a – угол между векторами;

(b) , ;

(c) векторы , , образуют правую тройку.

Свойства векторного произведения:

1. ´ = – ´ (антикоммутативность).
2. = .
3. = .
4. Критерий коллинеарности векторов: .
5. .
6. Геометрический смысл векторного произведения: площадь параллелограмма, стороны которого задаются векторами и , равна модулю их векторного произведения: .
7. Если = (a ₁, a ₂, a ₃), = (b ₁, b ₂, b ₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

Пример 6. Найти векторное произведение векторов = (2, –1, 3), и
= (3, 2, –2).

Решение. По свойству (7) получаем

=

= (2 – 6) – (–4 – 9) + (4 + 3) = –4 + 13 + 7 = (–4, 13, 7).

Пример 7. Найти площадь параллелограмма ABCD, если заданы координаты вершин A (3, 2, 0), C (2, –1, 2) D (1, 3, –4).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке, чтобы понять, какие векторы задают стороны параллелограмма. Так как заданы точки A, C, D, то естественно использовать векторы и (хотя направление векторов не имеет значения, можно взять противоположные векторы):

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (10, –8, –7);

.