Векторная геометрия

В геометрическом векторном пространстве стандартный базис состоит из векторов, имеющих единичную длину, расположенных по координатным осям и направленных в положительную сторону соответствующих координатных осей. Векторы, соответствующие осям 0 x, 0 y, 0 z, обозначают соответственно , , и называют основными или базовыми ортами.

Проекция вектора на прямую – это вектор, начало и конец которого есть проекции начала и конца вектора на эту прямую.

В разложении вектора = (a₁, a₂, a₃) по базису: = a₁ + a₂ + a₃ слагаемые являются проекциями вектора на соответствующие координатные оси.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными; параллельные одной плоскости – компланарными.

Перпендикулярные векторы называют ортогональными.

Если = (a, b, c) и известны координаты точки A (x ₁, y ₁, z ₁), то координаты точки B (x ₂, y ₂, z ₂) находим сложением этих координат: x ₂ = x ₁ + a, y ₂ = y ₁ + b, z ₂ = z ₁ + c. Аналогично координаты начала вектора получаются из координат конца вычитанием координат вектора.

Пример 3. Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, если заданы координаты А (2, –1, 1), В (4, 2, 0), С (–3, 1, –2).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы было наглядно видно, какие векторы использовать в вычислениях. Замечаем, что

= = (–3 – 4, 1 – 2, –2 – 0) = (–7, –1, –2),

и получаем координаты D (2 – 7, –1 – 1, 1 – 2), или D (–5, –2, –1).