Угол между двумя прямыми.

Пусть прямые имеют угловые коэффициенты k ₁ и k ₂. Тогда угол j между ними определяется из условия

. (9)

Условие перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами k ₁ и k ₂:

k ₁ k ₂ = –1. (10)

Условие параллельности двух прямых с угловыми коэффициентами k ₁ и k ₂:

k ₁ = k ₂ . (11)

Расстояние от точки M (x ₀, y ₀) до прямой Ax + By + C = 0:

. (12)

Площадь треугольника АВС с вершинами А (x ₁, y ₁), В (x ₂, y ₂), С (x ₃, y ₃):

. (13)

Пример 2. Даны три точки А (3; 1), В (–2; 3), С (1; –2). а) Построить уравнение прямой АВ; б) Найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С;
г) построить уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С; д) найти расстояние между точками А и С; е) найти расстояние между точкой С и прямой АВ; ж) найти площадь треугольника АВС.

Решение. а) Воспользуемся формулой (6):

;

;

2 x – 6 = –5 y + 5;

2 x + 5 y – 11 = 0 – общее уравнение прямой.

б) Приведем уравнение прямой АВ, полученное в пункте а) к виду (3):

.

Отсюда ее угловой коэффициент . Аналогично находим угловой коэффициент прямой АС, построив ее уравнение:

;

–3 x + 9 = –2 y + 2;

3 x – 2 y – 7 = 0;

;

.

Теперь по формуле (9) получаем

.

в) Угловой коэффициент k ₃ перпендикуляра к АВ находим из условия (10): k ₁ k ₃ = –1, где из пункта б). Отсюда . Уравнение перпендикуляра находим по формуле (7):

y – (–2) = ;

2 y + 4 = 5 x – 5;

5 x – 2 y – 9 = 0.

г) Согласно формуле (11), угловой коэффициент прямой, параллельной АВ, также равен . Поэтому по формуле (7) получаем уравнение

y – (–2) = ;

5 y + 10 = –2 x + 2;

2 x + 5 y + 8 = 0.

д) Воспользуемся формулой (1):

.

е) Воспользуемся формулой (12) и уравнением прямой АВ из пункта а):

.

ж)Воспользуемся формулой (13):

.