Формула трапеций. Тогда по формуле (5.34) на отрезке получаем интеграл

При из формулы (5.33) имеем

Тогда по формуле (5.34) на отрезке получаем интеграл

(5.35)

Формула (5.35) дает один из простейших способов вычисления определенного интеграла и называется формулой трапеций. Действи­тельно, при подынтеграль­ная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени (т.е. линейной функцией), а геометрически это означает, что площадь криволинейной фигуры подменяется площадью трапеции (рис. 5.2). Распространяя формулу (5.35) на все отрезки разбиения, по­лучим общую формулу трапеций для отрезка

(5.36)

Если аналитическое выражение подынтегральной функции известно, может быть поставлен вопрос об оценке погрешности численного интегрирования по формуле (5.36) (погрешность ме­тода). В этом случае имеется в виду, что где — остаточный член

квадратурной формулы (5.36). Формулу остаточного члена получим вначале для отрезка . Имеем

откуда следует, что естественно рассматривать как функцию шага : .Заметим, что . Продифференцируем по :

Замечаем, что . Далее:

(5.37)

Выведем сейчас , последовательно интегрируя на от­резке :

откуда с учетом (5.37) имеем

(5.38)

Применяя к (5.38) обобщенную теорему о среднем (Если функции и непрерывны и не меняет знака на отрезке , то существует такая точка что ), получаем

(5.39)

где и зависит от . Далее:

откуда с учетом обобщенной теоремы о среднем и (5.39) имеем:

(5.40)

где .

Таким образом, погрешность метода при интегрировании функции на отрезке по формуле (5.36) имеет значение

(5.41)

Из формулы (5.41) видно, что при формула (5.36) дает значение интеграла с избытком, а при — с недо­статком.

Для оценки погрешности интегрирования на всем отрезке рассуждаем следующим образом. Общая погрешность складывается из суммы погрешностей на каждом частичном отрезке, опре­деляемых по формуле (5.40): Сучетом (5.41) имеем

где .

Учитывая, что получаем следующий окончательный вид формулы для оценки погрешности метода интегрирования по формуле трапеций:

(5.42)

Пример 5.6. Вычислить интеграл по формуле трапеций, разделив отрезок на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений. Оценим сначала погрешность метода. Для этого находим вторую производную подынтегральной функции: На отрезке всюду положительна, причем се значение ограничено сверху: < 3, 3. Таким образом, ис­пользуя формулу (5.42) , имеем:

0, 1		0, 0009983
0, 2		0, 0079467
0, 3		0, 0265968
0, 4		0, 0623068
0, 5		0, 1198562
0, 6		0, 2032711
0, 7		0, 3156668
0, 8		0, 4591078
0, 9		0, 6344948
1, 0	0, 4207355
	0, 4207355	1, 8302453

Итак, приняв на заданном участке интегрирования , мы сможем получить интеграл от заданной функции с погрешностью, не превышающей 0, 003, если будем вести вычисления таким об­разом, чтобы погрешность округления не исказила окончатель­ный результат в пределах точно­сти метода.

Значения подынтегральной функции в узловых точках приведены в табл. 5.3.

В последней строке таблицы получены суммы значений по столбцам. Используя значения этих сумм, в соответствии с формулой трапеций (5.36) имеем:

Учитывая вычисленную рань­ше ошибку , получаем оконча­тельно

В данном случае легко вычислить " точное" значение этого интеграла, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:

Как видим, результат, полученный с помощью приближенной формулы трапеций, в пределах установленной точности вполне соответствует этому значению.