Практическая часть. Задание 1. Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона

Задание 1. Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона, и оценить погрешности метода.

Задание 2. Вычислить интеграл от заданной функции на отрезке при делении отрезка на 10 равных частей двумя способами: 1) по формуле трапеций; 2) по формуле Симпсона. Произвести оценку погрешности методов интегрирования и сравнить точность полученных результатов. Расчеты выполнить двумя способами: " вручную" на калькуляторе, а затем с помощью табличного процессора Excel.

Пояснения к выполнению лабораторной работы № 5

Исходные данные к выполнению задания 1 берутся из табл. 4.20 — 4.23, которые выбираются в соответствии с номером варианта по табл. 4.15 (см. лабораторную работу № 4). Участок таблицы для дифференцирования, значение аргумента , а также используе­мый метод задаются преподавателем. Для оценки погрешности метода используются формулы (5.12) —(5.14) или (5.18) —(5.20). Учитывая, что аналитическое выражение таблично заданной фун­кции в табл. 4.20 — 4.23 также известно, предоставляется возмож­ность — как и при выполнении предыдущего задания — для сопо­ставления точности полученных числовых результатов вычислить значение производной заданной функции в точке путем не­посредственного дифференцирования формулы и последу­ющего вычисления значения ; эти вычисления должны быть выполнены с помощью табличного процессора Excel. Пе­ред выполнением задания следует прочитать подразд. 5.2, 5.3, разобрать все приведенные в тексте примеры.

Исходные данные для выполнения задания 2 берутся из табл. 5.5. Отрезок интегрирования разбивается на 10 равных частей и про­изводится ручное вычисление интеграла по формулам трапеций, Симпсона. Для расчетов по формулам трапеций и Симп­сона удобно составить единую таблицу значений подынтегральной функции по схеме:

Таблица 5.7.

По каждому из трех столбцов таблицы находятся суммы соот­ветствующих значений подынтегральной функции (при этом по столбцу для формулы трапеций находится сумма всех элемен­тов столбца, а для формулы Симпсона — только с четными ин­дексами). Задание выполнить также в Excel.

Для оценки погрешности методов используются оценочные формулы (5.42), (5.45). Их применение предполагает ис­следование модулей соответственно второй и четвертой произ­водной подынтегральной функции на отрезке .

Варианты заданий.

Таблица 5.5

Вариант		a	b
		1, 2	2, 2
		0, 5	1, 5
		-1
		-0, 5	0, 5
		0, 2	1, 2
		1, 5	2, 5
		0, 1	1, 1
		1, 4	2, 4
		2, 3	3, 3

Контрольные вопросы

1. Как можно построить алгоритм численного нахождения значения производной аналитически заданной функции в точке на основе определения производной? С какими препятствиями в процессе реализации алгоритма здесь можно столкнуться?

2. Как может быть решена задача численного дифференцирования для таблично заданной функции с помощью интерполирования? В чем некорректность такого способа численного дифференцирования?

3. Как строится интерполяционный многочлен Лагранжа для равно­отстоящих узлов?

4. Как можно оценить погрешность численного дифференцирования с использованием интерполяционной формулы Лагранжа?

5. В чем конкретно выражается некорректность численного диффе­ренцирования при использовании интерполяционных формул Ньютона?

6. Какой способ интерполяции приводит к простейшим формулам для центрально-разностных аппроксимаций производных?

7. Как можно оценить погрешность численного дифференцирования с использованием интерполяционной формулы Ньютона?

8. Почему формула Ньютона—Лейбница может оказаться непригодной для реального вычисления определенного интеграла?

9. Как связаны задачи численного интегрирования и интерполирова­ния?

10.Чем объясняется название формулы трапеций?

11.В чем выражаются преимущества формулы Симпсона перед формулой трапеций?

12.Каким образом при использовании формулы Симпсона можно рас­считать требуемое число отрезков разбиения для достижения заданной точности интегрирования ?

13.Каким образом можно произвести оценку точности интегрирования по формулам трапеций и Симпсона, не используя аналитическое выражение подынтегральной функции?

14.Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования путем последовательного уменьшения шага?