Полуэмпирические оценки точности вычислений по квадратурным формулам.

Как следует из оценочных формул (5.42) и (5.45), оценка по­грешности метода интегрирования по формулам трапеций и Симп­сона возможна лишь тогда, когда подынтегральная функция зада­на аналитически. Однако даже и в этом случае на практике широ­ко применяется следующий эмпирический прием, пригодный для каждого из рассмотренных методов интегрирования. Искомый интеграл вычисляется дважды: при делении отрезка на частей и на частей (при интегрировании по формуле Симпсона значение должно быть четным). Затем полученные значения интеграла (обозначим их и ) сравниваются и совпадающие первые десятичные знаки считаются верными.

Указанный прием может быть уточнен и, в некотором смысле, обоснован. Пусть и — погрешности интегрирования по фор­муле Симпсона, соответственно при и отрезках разбиения. Учитывая (5.45), можно составить приближенную оценку

(5.47)

где и — длина отрезков разбиения (шаг интегрирования) в первом и втором случае. Понятно, что . Из (5.47) получаем:

(5.48)

Если — истинное значение интеграла, то и , откуда с учетом (5.48) т.е.

(5.49)

Формула (5.49) удобна для практической оценки погрешности метода Симпсона, но требует двойного счета.

Аналогичное рассуждение применительно к методу трапеций приводит к оценке:

(5.50)

Из оценочных формул (5.42) и (5.45) следует, что ошибка интегрирования по методу трапеций и методу Симпсона уменьшается с уменьшением шага интегрирования (для метода Симпсона — значительно быстрее). На основании этого можно сделать вывод: при последовательном увеличении числа отрезков разбиения значение интеграла будет приближаться к точному. Однако это утверждение имеет чисто теоретическое значение. Дело в том, что в процессе практических вычислений при последовательном удвоении числа отрезков разбиения начинает сильно прогрессировать удельный вес ошибки округления, значение которой с некоторого момента ставит предел реально достижимой точности результата интегрирования.