Метод Эйлера. В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения дифференциального уравнения, однако

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения дифференциального уравнения, однако, этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной табличной форме.

Пусть дано уравнение (6.1) с начальным условием (6.2) (т.е. поставлена задача Коши). Вначале найдем простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке , где достаточно малый шаг. Заметим, что уравнение (6.1) совместно с начальным условием (6.2) задают направление касательной к искомой интегральной кривой в точке . Двигаясь вдоль этой касательной (рис. 6.2), получим приближенное значение решения в точке :

. (6.7)

Располагая приближенным решением в точке , можно повторить описанную процедуру: построить прямую, проходящую через эту точку под углом определяемым условием , и по ней найти приближенное значение решения в точке . Заметим, что, в отличие от ситуации изображенной на рисунке 6.2, эта прямая не есть касательная к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна. Однако представляется интуитивно ясным, что если h достаточно мало, то получаемые приближения будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равноотстоящих точек Получение таблицы значений иско­мой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

(6.8)

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера приведена на рис. 6.3. Вместо интегральной кривой в

реальности получается со­вокупность прямых (так называемая ломаная Эйлера).

Методы численного интегрирования дифференциальных урав­нений, в которых решение получается от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера — простейший представи­тель семейства пошаговых методов.

Отметим, что оценка погрешности метода при таком элемен­тарном рассмотрении невозможна даже на первом шаге. Кроме того, особенностью любого пошагового метода является то, что, начиная со второго шага, исходное значение формуле (6.8) само является приближенным, т.е., вообще говоря, погрешность на каждом следующем шаге систематически возрастает.

Наиболее используемым эмпирическим методом оценки точ­ности как метода Эйлера, так и других пошаговых методов при­ближенного численного интегрирования обыкновенных диффе­ренциальных уравнений является способ двойного прохождения заданного отрезка — с шагом ис шагом . Совпадение соот­ветствующих десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает эмпирические основание считать их верными (хотя полной уверенности в этом быть не может).

Таблица 6.1

		1, 3	0, 05
	0, 2	1, 35	0, 16
	0, 4	1, 52	0, 25
	0, 6	1, 77	0, 32
	0, 8	2, 09	0, 38
	1, 0	2, 47

Одна из принципиальных трудностей всех пошаговых методов численного решения дифференциальных уравнений состоит в воз­можности столкнуться с неустойчивостью метода. Оценка погреш­ности неявно предполагает, что ломаная приближенного реше­ния (см. рис. 6.3) хотя и не совпадает с интегральной кривой, но качественно на нее похожа. Чаще всего это именно так, но иногда (например, при неудачном выборе шага ) приближенное реше­ние может быть качественно непохожим на точное (например, точное монотонно убывает, а приближенное монотонно возра­стает). Для эмпирического контроля того, не имеет ли места неус­тойчивость, следует численно интегрировать уравнение с несколь­кими, значительно отличающимися, значениями шага , сравни­вая качественно поведение решений.

Пример 6.1. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение с начальным значением на отрезке , приняв шаг h = 0, 2.

Результаты вычислений с двумя знаками после запятой приве­дены в табл. 6.1. Порядок вычислений вполне очевиден: вначале находим , затем и т.д. Алгоритм метода Эйлера легко реализовать на ЭВМ. Блок-схе­ма алгоритма решения дифференциального уравнения вида (6.1) методом Эйлера изображена на рис. 6.4. Исходными данными яв­ляются: начальные значения и , шаг интегрирования и пра­вая граница отрезка интегрирования .