Постановка задачи.

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

(6.1)

Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задача Коши: найти решение уравнения (6.1) в виде функции удовлетворяющей начальному условию

(6.2)

Геометрически это означает (рис. 6.1), что требуется найти ин­тегральную кривую , проходящую через заданную точку , при выполнении равенства (6.1).

Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (6.1) обеспечиваются следующей теоремой.

Рис. 6.1. Геометрическая иллюстрация решения дифференциального уравнения

Теорема Пикара. Если функция определена и непрерывна в некоторой плоской области , определяемой неравенствами (6.3)

и удовлетворяет в этой области условию Липшица по у: суще­ствует такое положительное число , что для любых точек

(6.4)

то на некотором отрезке существует, и притом толь­ко одно, решение у=у(х) урав­нения (6.1), удовлетворяющее начальному условию

Число М называется константой Липшица. Если имеет ограниченную в производную по , то . Величина вычисляется по формуле: , (6.5)

где (6.6)

Существует несколько классов дифференциальных уравнений первого порядка, для которых решение может быть найдено ана­литически (уравнения с разделяющимися переменными, одно­родные, линейные, в полных дифференциалах). Даже для таких уравнений решение не всегда удается довести до вида у = у(х), где у(х) — функция, с которой удобно работать дальше. Многие же дифференциальные уравнения, к которым приводят математичес­кие модели реальных процессов, не относятся к указанным клас­сам и аналитически решены быть не могут. Тем более это утверж­дение справедливо для систем дифференциальных уравнений и для уравнений старших порядков. По этой причине разработаны многочисленные методы приближенного решения дифференци­альных уравнений. Весьма условно, в зависимости от формы пред­ставления решения, эти методы подразделяются на три основные группы:

аналитические методы, применение которых дает приближен­ное решение дифференциального уравнения в виде формулы;

графические методы, дающие приближенное решение в виде графика;

численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы.

Ниже рассматриваются основные методы приближенного ре­шения обыкновенных дифференциальных уравнений первого по­рядка вида (6.1). Дифференциальные уравнения -го порядка: , для которых задача Коши состоит в на­хождении решения у=у(х), удовлетворяющего начальным услови­ям: , где — заданные числа, можно свести к системе дифференциальных урав­нений первого порядка. Так, например, уравнение второго по­рядка: у" =f(x, у, у') можно записать в виде системы двух урав­нений первого порядка:

Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений основываются на соответствующих методах решения одного уравнения.