Метод разложения в степенной ряд.

К методу Эйлера можно прийти и иными путями, не исполь­зуя геометрических построений. Простейший из них таков. Ап­проксимируем производную у', входящую в уравнение (6.1), пра­восторонним конечно-разностным отношением в точке (см. формулу (5.21)), и получим . Здесь - точное значение искомого решения в точке . Обозначая через прибли­женное значение решения, получим: — форму­ла (6.7).

То же самое можно получить и иным способом, допускающим в отличие от предыдущего улучшение аппроксимации и контроль точности. Разложим искомое решение в ряд Тейлора с центром в точке :

(6.9)

Число известно из начального условия (6.2), значение про­изводной также известно, поскольку из дифференциально­го уравнения (6.1) следует, что . Ограничиваясь в разложении (6.9) первыми двумя членами ряда и положив немедленно получаем формулу метода Эйлера (6.7).

Однако при таком подходе возникает возможность улучшить решение, используя больше членов ряда в разложении (6.9). Учтем еще один член ряда, квадратичный по . При этом возникает необходимость найти . Это можно сделать с помощью самого дифференциального уравнения (6.1), продифференцировав обе его части:

(6.10)

(использовано правило дифференцирования сложной функции само уравнение (6.1)) Положив в (6.9) и используя (6.10), получим во втором порядке разложения:

(6.11)

Первые два слагаемых в первой части (6.11) – формула метода Эйлера, а следующее слагаемое – поправка к ней.

В связи с таким подходом становится понятно, почему метод Эйлера называют методом первого порядка аппроксимации; метод связанный с формулой (6.11), - второго порядка. Продолжая разложение в ряд, можно, в принципе, достичь более высокого порядка аппроксимации решения.

Кроме того, становится очевидным, что оценка погрешности применения метода Эйлера на одном шаге такова ( - точное значение решения в точке ):

(6.12)

где К – некоторая константа, вид которой следует из сравнения (6.11) и (6.12). Тем не менее, следует помнить, что оценка погрешности любого многошагового метода на одном шаге не дает возможности учесть накопление погрешностей при многих шагах, на каждом из которых сказывается погрешность предыдущего шага. Формула, аналогичная формуле (6.11), но для любого узла, имеет вид:

(6.13)

Пример 6.2. Получить рабочую формулу для интегрирования дифференциального уравнения, рассмотренного в примере 6.1, во втором порядке аппроксимации.

Имеем: Таким образом, с помощью (6.13) получаем:

Метод разложения в степенной ряд на практике почти не применяется, однако он создает теоретическую базу для построения более удобных, практически используемых методов. Рассмотрим ниже один из них.