Формула Симпсона.

При из формулы (5.33) последовательно имеем :

Тогда с учетом (5.34) получим на отрезке

т.е.

(5.43)

Геометрически, в соответствии со смыслом интерполяцион­ной формулы Лагранжа при , использование формулы (5.43) означает замену подынтегральной функции параболой проходящей через точки (рис. 5.3).

Если считать, что — четное , то, применяя формулу (5.43) последовательно к каждой паре частичных отрезков получим

(5.44)

Формула (5.44) называется формулой Симпсона. Оценку остаточного члена формулы Симпсона приведем без вывода:

где (5.45)

Как следует из оценки, формула Симпсона оказывается точ­ной для полиномов до третьей степени включительно (так как для этих случаев производная четвертого порядка равна нулю). Фор­мула Симпсона обладает повышенной точностью по сравнению с формулой трапеций. Это означает, что для достижения той же точности, что и по формуле трапеций, в ней можно брать мень­шее число отрезков разбиения. Последнее обстоятельство весьма важно для вычислений, поскольку основное время затрачивается на нахождение значений функции в узлах.

Укажем в заключение весьма простой практический прием, позволяющий прогнозировать требуемое число отрезков разбие­ния по заданной точности .

Пусть задана предельная допустимая погрешность интегриро­вания . Желая иметь , с учетом оценки (5.45) достаточно потребовать: откуда т.е. (5.46)

Формула (5.46) позволяет оценить величину шага, необхо­димую для достижения заданной точности (из формулы видно, что имеет порядок ).

Пример 5.7. Вычислить интег­рал из примера 5.6 по формуле Симпсона при том же числе от­резков разбиения .

0, 1			0, 0019966
0, 2		0, 0079467
0, 3			0, 0531936
0, 4		0, 0623068
0, 5			0, 2397124
0, 6		0, 2032711
0, 7			0, 6313333
0, 8		0, 4591078
0, 9			1, 2689896
1, 0	0, 4207355
	0, 4207355	0, 7326324	2, 1952255

Для оценки остаточного члена найдем производную четверто­го порядка от подынтегральной функции

:

Значение на отрезке [0; 1] ограничено числом 14. Используя формулу (5.45), получаем оценку:

Значения подынтегральной функции в узлах в соответствии с формулой Симпсона (5.44) приведены в табл. 5.4.

Используя значения сумм из последней строки таблицы, име­ем по формуле Симпсона:

Округляя результат в соответствии с полученной раньше оцен­кой, получаем .

Сравнивая этот результат со значением интеграла, получен­ным в примере 5.6, замечаем, что при одинаковом числе отрез­ков разбиения формула Симпсона дает ответ с более высокой точ­ностью.

Посмотрим, как можно было бы воспользоваться в данном случае формулой (5.46). Пусть требуется найти значение заданно­го интеграла с точностью . Тогда по формуле (5.46) полу­чаем

Отсюда следует, что при использовании формулы Симпсона для достижения точности достаточно было бы разбить от­резок [0; 1] на 20 частей (с шагом = 0, 05).