Коэффициент парной корреляции

Коэффициентом парной корреляции называется коэффициент, изменяющийся от -1 до 1, показывающий на степень тесноты (силы, мощности) линейной стохастической (вероятностной) связи между двумя случайными величинами (или одной случайной и одной неслучайной).

Генеральный коэффициент парной корреляции определяется выражением , где m_xy – смешанный центральный момент первого порядка.

,

где , – математические ожидания случайных величин х и у.

Свойства генерального коэффициента парной корреляции ρ (-1≤ ρ ≤ 1)

1. Если между случайными величинами нет никакой связи, то ρ =0, обратное утверждение не верно.

2. Если ρ =0, то это может означать, что между случайными величинами либо нет никакой связи, либо связь эта не линейна.

3. Если коэффициент корреляции | ρ |=1 – между случайными величинами существует строгая линейная функциональная зависимость.

Все опытные точки на одной прямой.

4. При ρ > 0 связь между случайными величинами возрастающая (с увеличением х увеличивается у и наоборот).

5. При ρ < 0 связь между случайными величинами убывающая (с уменьшением х уменьшается у и наоборот).

Принято считать, что при 0≤ | ρ |≤ 0.2 между случайными величинами связи нет, при 0≤ | ρ |≤ 0.5 существует слабая связь, 0.5≤ | ρ |≤ 0.75 средняя по силе связь, при 0.75≤ | ρ |≤ 0.95 сильная связь, при 0.95≤ | ρ |< 1 практически функциональная зависимость.

Состоятельной, эффективной и несмещенной оценкой генерального коэффициента парной корреляции называется выборочный коэффициент парной корреляции, определяемый выражением , где М_х, _у – выборочный центральный смещенный момент.

, где и – соответственно среднее арифметическое и выборочные среднеквадратическое отклонение случайных величин х и у.

Можно получить расчетное выражение:

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции r аналогичны свойствам генерального.

Если произвести нормирование опытных данных согласно выражению

; .

Если построить для нормированных значений уравнения прямой и обратной линейных регрессий ; , то окажется, что выборочный коэффициент корреляции r по значению совпадает с тангенсом угла наклона линии прямой регрессии к оси х ^Н и обратно у ^Н.

.

В этом состоит геометрический смысл выборочного коэффициента корреляции.

При использовании коэффициента корреляции наряду с нормированным подходом во избежание ложных выводов следует учитывать физический смысл изучаемого процесса.

Если заранее не известно, что между явлениями может существовать существенная не линейная связь известного типа, то для установления факта ее существования так же можно использовать коэффициент парной корреляции, если есть возможность линейнизовать опытные данные путем преобразования нелинейной зависимости к линейной.

Объективным показателем тесноты линейной связи является генеральный коэффициент корреляции ρ, поэтому после расчета выборочного коэффициента корреляции r необходимо проводить его статистическую зависимость (отличие от нуля генерального коэффициента корреляции ρ).

Проверка осуществляется путем проверки соответствующей гипотезы.

1. Т.е. между случайными величинами нет линейной связи.

2. . Т.е. между случайными величинами есть линейная связь.

3. Существует два возможных варианта:

а) использовать таблицы критических значений;

б) использовать t -критерий (Стьюдента).

4. б) .

5.

а) по таблицам критических значений определяется r_{α , ν} ;

б) границы критической области t_{α , ν} – квантиль распределения Стьюдента – определяются по таблицам распределения для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы, определяемая выражением ν = N –2.

6. Нулевую гипотезу принимают, если выполняется неравенство

а) ;

б) .