Регрессивный анализ для случая одной независимой переменной (фактора)

В теоретических дисциплинах связь между функцией (откликом) у и аргументом (фактором) х устанавливается в виде однозначной зависимости одному значению х соответственно одно значение у. При этом влияние слабо воздействующих, неуправляемых, неконтролируемых факторов δ игнорируется.

На практике, в зависимости от δ, одному значению х может соответствовать множество значений у, т.к. у – случайная величина.

Для каждого уровня фактора х соответствует своя (случайная величина) у, которая может быть описана при помощи функции распределения или плотности распределения.

Получается, что при переходе от х ₁ к х ₂ изменяется не само значение у (из у ₁ и у ₂ как в строгой зависимости), а изменяется закон распределения случайной величины у.

Для нормального распределения случайной величины изменение закона распределения может быть полностью описано путем описания законов изменения математического ожидания µ = µ (х) (1) и дисперсии σ ²= σ ²(х) (2).

Уравнение (1) называется уравнением регрессии, уравнение (2) стохастической зависимостью.

Будем полагать, для простоты, что стохастическая зависимость отсутствует, т.е. σ ²= const, а так же, что уравнение регрессии линейно, т.е. может быть описано в виде , где α и ß – генеральные коэффициенты уравнения регрессии, т.к. µ_у – генеральная характеристика.

Для нахождения α и ß необходимо именно бесконечное количество наблюдений, т.е. выборка. Поэтому рассчитать значение генеральных коэффициентов α и ß нельзя. Их можно только оценить путем расчета выборочных аналогов.

Можно рассчитать выборочное уравнение значимости , где a и b – оценки для α и ß.

С точки зрения практики наилучшие оценки a и b могут быть рассчитаны с помощью метода наименьших квадратов, т.к. именно такие оценки отвечают требованиям состоятельности, эффективности и несмещености.