Критерий согласия. Проверка гипотез о виде функций распределения.

Важно. Гипотезу о виде функции распределения следует проверять перед началом всех статистических исследований, т.к. перед началом исследования необходимо применить статистики.

Приблизительно о виде функции распределения можно судить на основе графического представления или функции распределения, или плотности распределения.

График эмпирической плотности распределения с использованием опытных данных из выборки объема N можно построить исходя из следующего:

1. Имеющиеся опытные данные x ₁, х ₂… х_n располагают в вариационный ряд так, что бы x ₁≤ х ₂≤ …≤ х_n.

2. Весь интервал варьирования от x ₁ до х_n разбивают на m небольших интервалов.

3. Подсчитывают количество значений n_i, попавших в каждый i -ый интервал, где i =1… n.

4. Для всех i подсчитывают эмпирическую вероятность попадания случайной величины в этот интервал .

5. Строится гистограмма распределения эмпирических вероятностей путем откладывания на каждом i -ом интервале столбика высотой Р_i.

6. Через соответствующие точки вершин столбиков проводят плавную кривую. Она будет являться эмпирическим графиком плотности распределения.

7. Получившийся график можно сопоставить с известным теоретическим графиком распределения и выбрать похожее распределение.

Существуют более строгие проверки. Например, применение критериев согласия (их известно очень много).

Все критерии можно разделить на две группы:

1. Универсальные критерии, пригодные для проверки на соответствие любому закону распределения.

2. Частные критерии, пригодные для проверки на соответствие конкретному виду распределения. Среди них параметрические критерии, применимые для проверки на соответствие нормальному закону распределения.

3.4.1. Критерий согласия Пирсона (χ ² критерий)

Применяется при больших объемах выборки (N > 100). Универсальный критерий.

1. Имеющиеся опытные данные x ₁, х ₂… х_n располагают в вариационный ряд так, что бы x ₁≤ х ₂≤ …≤ х_n.

2. Весь интервал варьирования от x ₁ до х_n разбивают на m интервалов.

3. Статистикой критерии Пирсона является величина, определяемая выражением:

, где n_i – количество значений, попавших в каждый малый интервал i =1… m; Р_i – теоретическая вероятность попадания случайной величины в i -ый интервал для распределения на соответствие которому осуществляется проверка.

4. С вероятностью 1– α эмпирическое распределение не будет противоречить теоретическому, если , где – квантиль распределения Пирсона в зависимости от выбранного уровня значимости α и числа степеней свободы ν = m–c –1, с – число параметров, которые необходимо рассчитать по выборке для расчета Р_i.

Например для нормального закона распределения значения Р_i можно рассчитать с использованием функции Лапласа (по таблицам).

5. Для каждого i -го интервала с границами и проводится нормирование границ по выражению , где и S рассчитываются по выборке объема N.

6. Теоретическую вероятность определяют из выражения .

Т.к. для расчета Р_i необходимо рассчитать две числовые характеристики и S, то при расчете ν принимается с =2.