Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Дано уравнение гиперболы Найдите действительную и мнимую полуоси, фокальное расстояние, координаты вершин
|
|
Задача 1. Дано уравнение гиперболы 
Найдите действительную и мнимую полуоси, фокальное расстояние, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис, уравнение сопряженной с ней гиперболы. Изобразите данную гиперболу и гиперболу, ей сопряженную.
Решение. Приведем уравнение гиперболы 
к каноническому виду. Для этого перенесем (-144) в правую часть и разделим обе части уравнения на 144: 
Из полученного канонического уравнения находим: 
уравнения асимптот: 
уравнения директрис: 
Уравнение гиперболы 
сопряженной данной: 
 |
Строим на плоскости прямоугольную декартову систему координат
и изображаем гиперболу , ее асимптоты, фокусы, директрисы и гиперболу 
(рис. 30).
Задача 2. Найдите каноническое уравнение эллипса, если известен его эксцентриситет 
и координаты точки 
принадлежащей эллипсу. Постройте изображение данного эллипса, его фокусов и директрис.
Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид 
где 
Чтобы найти каноническое уравнение данного эллипса g, надо найти a и b.
Так как , то 
Так как 
то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса, т.е. 
Итак, получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными a, b и c:
Решим эту систему. Из первого уравнения выразим c и подставим в третье уравнение: 
Подставляем 
во второе уравнение системы: 
Каноническое уравнение g имеет вид: 
Строим на плоскости прямоугольную декартову систему координат и эллипс g. Его фокусы имеют координаты: 
Чтобы построить директрисы, найдем их уравнения: 
Изображение эллипса дано на рис. 31.
 |
Задача 3. Найдите каноническое уравнение параболы и изобразите эту параболу, ее фокус и директрису, если известны координаты ее фокуса F (2; 0).
Решение. Так как абсцисса фокуса F положительна, то каноническое уравнение параболы имеет вид: 
.
Найдем фокальный параметр р.
Известно, что 
поэтому 
Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид: 
Уравнение директрисы 
Для построения параболы найдем координаты четырех ее вспомогательных точек, пользуясь уравнением параболы: 
Выбираем на плоскости прямоугольную декартову систему координат , строим точки М 1, М 2, М 3, М 4 и через эти точки и вершину параболы О проводим параболу g. Затем строим фокус F (2; 0) и директрису 
(рис. 32).
III. Задачи для упражнений
1. Дано каноническое уравнение эллипса 
Найдите большую и малую полуоси, фокальное расстояние, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и фокальные радиусы точки 
2. Дано каноническое уравнение параболы y 2 = 7 x. Найдите фокальный параметр параболы, координаты фокуса и уравнение директрисы.
3. Найдите каноническое уравнение эллипса и изобразите этот эллипс, его фокусы и директрисы, если известно, что малая полуось равна 3, уравнения директрис 
и 
4. Найдите каноническое уравнение гиперболы и изобразите эту гиперболу, ее асимптоты, фокусы и директрисы, если известно, что фокальное расстояние равно 
, уравнения асимптот 
мнимая ось гиперболы.
5. Найдите каноническое уравнение параболы с осью Ox и изобразите эту параболу, ее фокус и директрису, если вершина параболы находится в начале координат и парабола проходит через точку Q (1; –2).