II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Найдите проекцию точки на плоскость

Задача 1. Найдите проекцию точки на плоскость

Решение. Этой проекцией является точка пересечения перпендикуляра к плоскости, проходящего через точку М. Для прямой, перпендикулярной плоскости, направляющим вектором будет (рис. 28).

Параметрические уравнения прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку М, примут вид:

Подставляя эти значения в уравнение плоскости, находим:

При этом значении t из параметрических уравнений прямой получаем: Следовательно, точка – искомая проекция.

Ответ:

Задача 2. Докажите, что прямая лежит в плоскости

Решение. Найдем координаты направляющего вектора данной прямой: отсюда

Вектор нормали плоскости равен

значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в плоскости.

Найдем какую-либо точку прямой и проверим, лежит ли она в плоскости. Положив, например, из системы получаем Таким образом, точка прямой найдена. Подставляя ее координаты в уравнение плоскости, получаем верное равенство:

Следовательно, данная прямая лежит в данной плоскости.

Задача 3. Составьте уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно к прямой

Решение. Так как то (рис. 29).

Следовательно, плоскость задана точкой и вектором нормали Поэтому уравнение имеет вид: откуда

Ответ:

III. Задачи для упражнений

1. Докажите, что прямая параллельна плоскости

2. Найдите точку пересечения прямой и плоскости

3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости

4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

5. При каком значении С прямая параллельна плоскости

6. При каких значениях l и C прямая перпендикулярна к плоскости