II. Типовые задачи с решениями

Задача 1. В каждом из следующих случаев найдите уравнение плоскостиa, проходящей:

а) через точку и содержащей ось Ox;

б) через точки и параллельно оси Oy;

в) через точку параллельно плоскости Oxy.

Решение. а) Так как плоскость проходит через ось Ox, то точка и вектор . Следовательно, плоскость a задается точкой и двумя неколлинеарными векторами и Поэтому уравнение плоскости запишется так:

После упрощений получим:

б) Плоскость a задана точкой и двумя неколлинеарными векторами и Уравнение плоскости запишется так:

После упрощения получим:

в) Уравнение z = 0 определяет плоскость Oxy. Искомая плоскость поэтому ее уравнение будет иметь вид: Так как точка принадлежит плоскости a, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда D = –3. Значит,

Ответ: а) б) в)

Задача 2. Даны вершины тетраэдра A (4; 0; 2), B (0; 5; 1), C (-4;  1; 3) и D (-3;  1; 5). Напишите:

а) уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и параллельной ребру CD;

б) уравнение плоскости, проходящей через вершину А и параллельной грани ABCD.

Решение. а) Пусть – искомая плоскость. Плоскость a можно задать точкой А и двумя неколлинеарными векторами и Поэтому уравнение плоскости a запишется так:

После упрощений получим:

б) Первый способ. Найдем уравнение плоскости (BCD) как плоскости, проходящей через три точки:

откуда (ВСD):

Так как искомая плоскость a параллельна грани BCD, то ее уравнение имеет вид По условию задачи искомая плоскость проходит через вершину А, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, т.е. Итак,

Второй способ. Искомая плоскость a задается точкой А и двумя неколлинеарными векторами и

откуда

Ответ: а) б)

Задача 3. Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстоянии d = 5.

Решение. Пусть и – искомые плоскости. Так как они параллельны плоскости a, то их уравнения имеют вид: Найдем координаты какой–либо точки , принадлежащей данной плоскости. Для этого придадим двум переменным произвольные значения, например, , и найдем значение третьей переменной:

Точка принадлежит данной плоскости a. т.е. откуда или или Значит,

Ответ:

Задача 4. Найдите высоту пирамиды H _D, вершины которой находятся в точках B (1; 0; –4), C (–1; 3; 0), D (0; 3; –5).

Решение. Высоту пирамиды можно найти как расстояние от точки D до плоскости (АВС). Составим уравнение плоскости (АВС) как уравнение плоскости, проходящей через три точки: откуда

После упрощений получим:

Теперь найдем расстояние от точки D до плоскости (АВС):

Итак,

Ответ:

III. Задачи для упражнений

1. Даны уравнения трех граней параллелепипеда и одна из вершин (6; –5; 1). Найдите уравнения трех других граней.

2. Через линию пересечения плоскостей и проведите плоскость, проходящую через середину отрезка АВ, если АВ (1; 4; 0) и В (5; 2; –4).

3. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

4. Две грани куба лежат на плоскостях Вычислите объем этого куба.

5. Найдите величину угла между гранями ACD и ABD тетраэдра ABCD, если A (3; 0; –1), B (2; 1; 1), C (3; 1; 0), D (4; 0; 0).

6. На оси Oy найдите точку, отстоящую от плоскости на расстоянии