II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Найдите канонические уравнения прямой

Задача 1. Найдите канонические уравнения прямой

Решение. Полагая, например, из системы получаем Таким образом, точка прямой найдена.

Теперь определим направляющий вектор данной прямой: т.е.

Запишем канонические уравнения прямой:

Ответ:

Задача 2. Докажите, что прямые и пересекаются. Найдите точку их пересечения

Решение. Прямая задана фиксированной точкой и направляющим вектором . Прямая задана фиксированной точкой и направляющим вектором .

Докажем, что прямые и лежат в одной плоскости, т.е. что смешанное произведение векторов и равно нулю, и что векторы и не коллинеарны.

, т.к. значит, прямые и пересекаются.

Составим из их канонических уравнений систему:

Решив ее, находим координаты точки пересечения данных прямых:

x = 1, y = 2, z = 3.

Ответ: (1; 2; 3).

III. Задачи для упражнений

1. Составьте уравнение прямой:

а) проходящей через две точки ;

б) проходящей через точку параллельно вектору ;

в) образованной пересечением плоскости с координатной плоскостью Oxy.

2. Напишите параметрические уравнения следующих прямых:

а) б)

3. Через точку М (1; –3; 4) проведите прямую, параллельную прямой

4. Найдите тупой угол между прямыми: и

5. Установите взаимное расположение следующих пар прямых:

а) и

б) и

в) и

6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую и параллельной прямой