II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(–3;2) и перпендикулярной прямой d:

Задача 1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М (–3; 2) и перпендикулярной прямой d:

Решение. Первый способ. Уравнение искомой прямой запишем в виде В качестве вектора нормали искомой прямой можно взять направляющий вектор данной прямой d (рис. 25). Уравнение прямой l примет вид: Точка М (–3: 2) лежит на этой прямой, поэтому ее координаты должны удовлетворять ее уравнению:

Итак, уравнение прямой l имеет вид или .

Второй способ. Можно воспользоваться уравнением где вектор нормали прямой l

Получим:

Ответ: .

Задача 2. Дан треугольник с вершинами P (2; –1), Q (6; –4), R (10; 3). Найдите длину высоты, опущенной из точки R.

Решение. Задача сводится к вычислению расстояния от точки R до прямой PQ (рис. 26). Уравнение прямой PQ найдем как уравнение прямой, проходящей через две точки: Отсюда имеем: или

Теперь найдем расстояние d от точки R (10; 3) до этой прямой: Следовательно, длина высоты равна 8.

Ответ: 8.

Задача 3. Луч света, направленный по прямой отразился от оси абсцисс. Найдите точку А пересечения луча с осью и составьте уравнение отраженного луча.

Решение. Пусть (ось абсцисс) (рис. 27). Найдем точку пересечения луча с осью Ox, т.е. точку пересечения прямых и Следовательно,

Найдем тангенс направленного угла j между прямыми и

Тогда

Искомую прямую d зададим уравнением Найдем .

или откуда

Уравнение прямой d примет вид: Так как то откуда

Уравнение прямой или

Ответ: ,

III. Задачи для упражнений

1. Точка А (2; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Вычислите площадь этого квадрата.

2. Вычислите расстояние между параллельными прямыми:

а) и б) и .

3. Определите координаты точки, симметричной точке М (–1; 3) относительно прямой .

4. Даны вершины треугольника и ; его высоты пересекаются в точке N (5; 2). Определите координаты третьей вершины .

5. Луч света направлен по прямой . Дойдя до прямой , он отразился. Составьте уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

6. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку Р (–2; 3) на одинаковых расстояниях от А (5; –1) и В (3; 7).

7. Составьте уравнения биссектрис углов, образованных прямыми и .