II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Какую поверхность определяет уравнение: а) б) в) г) д)

Задача 1. Какую поверхность определяет уравнение:

а) б) в)

г) д)

Найдите координаты вершин каждой из данных поверхностей.

Решение. Приведем каждое из уравнений а) – д) к каноническому виду:

а) Перепишем уравнение в следующем виде: Это уравнение определяет эллипсоид вращения с полуосями Вершины эллипсоида имеют координаты:

б) – уравнение однополостного гиперболоида с полуосями Вершины однополостного гиперболоида:

в) Разделим обе части уравнения на 4: откуда – уравнение двуполостного гиперболоида с полуосями его вершины находятся в точках:

г) Разделим обе части уравнения на 7: откуда получаем: – уравнение эллиптического параболоида с осью Oz; его вершина находится в точке

д) Разделим обе части уравнения на 6: – уравнение гиперболического параболоида с осью Oz; его вершина находится в точке

Задача 2. Определите вид поверхности и изобразите эту поверхность:

а) б) в)

Решение. а) Приведем уравнение к каноническому виду: Это уравнение определяет эллиптический цилиндр. Чтобы изобразить эту поверхность, найдем уравнение ее направляющей и направление образующих.

Следовательно, направляющая представляет собой эллипс, лежащий в плоскости Образующие цилиндра Ф ₁ параллельны оси Oz.

Строим сначала изображение направляющей , образующих, а затем изображаем цилиндр Ф ₁ (рис. 33).

Следовательно, – гипербола с мнимой осью Ox, лежащая в плоскости Образующие параллельны оси Oz. Порядок построения изображения гиперболического цилиндра Ф ₂ такой же, как в пункте а) (рис. 34).

в) Уравнение определяет параболический цилиндр Ф ₃. Его направляющая является параболой с осью Oy, лежащей в плоскости Вершина параболы находится в точке Чтобы построить параболу , найдем координаты двух вспомогательных точек, принадлежащих параболе , в системе координат и

Параболический цилиндр Ф ₃ изображен на рис. 35.

Задача 3. Определите вид поверхности Ф: и изобразите эту поверхность.

Решение. Приведем уравнение поверхности Ф к каноническому виду, разделив обе части на 36: Это уравнение определяет конус с вершиной в начале координат.

Чтобы построить эту поверхность, найдем сечение этой поверхности плоскостью :

Следовательно, – эллипс с полуосями , лежащий в плоскости , параллельной плоскости Oxy.

Построение изображения конуса Ф начинаем с построения изображения плоскости и эллипса , затем достраиваем поверхность Ф (рис. 36).

Задача 4. Изобразите поверхности: а) б)

Решение. а) Данное уравнение определяет однополостный гиперболоид Ф ₁. Чтобы его изобразить, найдем сначала уравнения линий пересечения поверхности Ф ₁ с координатными плоскостями Oxy и Oyz:

Следовательно, – эллипс (точнее, окружность радиуса 1), лежащий в плоскости Oxy.

Следовательно, – гипербола с мнимой осью Oz, лежащая в плоскости Oyz. Ее полуоси равны 1.

Порядок изображения поверхности Ф ₁ таков (рис. 37):

1) Изображаем линию (горловое сечение однополостного гиперболоида);

2) Изображаем линию

3) Изображаем однополостный гиперболоид Ф ₁.

б) Данное уравнение определяет гиперболический параболоид Ф ₂.

Найдем уравнения линий и

Следовательно, – парабола с осью Oz, лежащая в плоскости Oyz; ее ветви направлены в сторону, противоположную положительному направлению оси Oz.

Следовательно, – парабола с мнимой осью Oz, лежащая в плоскости Oxz; ее ветви направлены в положительном направлении оси Oz.

III. Задачи для упражнений

1. Определите вид поверхности:

а) в)

б) г)

2. Определите вид поверхности и найдите координаты ее вершин:

а) в)

б) г)

3. Изобразите поверхности:

а)

б)

4. Изобразите поверхности:

а) в)

б) г)