Дифференцируемость функции N переменных.

Ф-ия u=f(x) назыв диффер в точке х0, если ее полное приращение в данной точке можно представить в виде ∆ u=А1*∆ х2+А2*∆ х2+…+Аn*∆ хn+α (∆ х2)*∆ х2+…+α (∆ хn)*∆ хn – ω (х0; ∆ х), где Аi-некоторые числа, не зависящие от ∆ хi.

Перепишем ф-лу: ∆ u=A1*∆ x1+A2*∆ x2+…+An*∆ xn+ω (x0; ∆ x) (2)

|ω (x0; ∆ x)|/||∆ x|| стремится к 0 при ||∆ x||→ 0.

Ф-ия дифференцируема в каждой точке (x1, x2, …, xn), диффер на(x1, x2, …, xn).

[T] Если u=f(x1, x2, x3, …, xn) дифференцируема в точке M(x1, x2, …, xn), то существуют частные производные данной функции по всем переменным, причем , где I= . Доказательство: из условий дифференцируемости функции запишем: DxiU=AiDXi+aiDXi, I= . Найдем предел :

Следствия:

- условие дифференцируемости функции в точке М можно записать в виде: DxkU= (5)

- если u=f(x1, x2, x3…xn) дифференцируема в точке М, то ее представление приращение в форме (2) единственно. Док-во: В ф-ле (2) коэф-ты ∂ u/∂ xi опр единственным образом(по опр-нию частных произодных).

[Т2] Если u=f(x) диф в точке х0, то она непрер в точке х0. Док-во: lim∆ u=0+0=0 при ∆ x→ 0 и ∆ хi→ 0 по опр-нию непрерывности ф-ии, что и т.д.

Замечание. Теорема, обратная теореме 1, не верна.

[Т3] Достаточное условие дифференцируемости функции: Если функция u=f(x1, x2, …, xn) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки М причем все частные производные непрерывны в самой точке Мо, то указанная функция дифференцируема в этой точке.

Функция u=f(x1, …xn) называется дифференцируемой в т М(x1, x2, …xn), если ее полное приращение представлено в виде

(2)Du=A1Dx1+A2Dx2+….+AnDXn +a1Dx1+…anDxn, где А1, А2, …, Аn некоторые числа, не зависящие от DX1, DX2….DX числа, а a1, a2, …am б-м функции соответственно при Dх1-> 0, Dх2-> 0, …Dхm-> 0 Условие называется условием дифференцируемости функции в данной точке М евклидова пространства Е^m

Соотношение (2)называется условием дифференцируемости функции, причем a1=a2….an=0, при DХ1=DХ2=DХ3…DХn=0 можно записать следующим образом: u=А1 Х1+ А2 Х2)+…+ Аn Хn

Ф-ия, имеющая в точке х0 непрерывные частные произв-ые, назыв непрерыв диф в точке х0.