Метод множителей Лагранжа.

Метод неопределенных множителей Лагранжа. Если система функций уравнений (2) неразрешима, либо ее решение затруднительно для вас, используют более универсальный способ – метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея та же – переход от условного экстремума к безусловному.

L=f+л1F1+л2F2+…+лmFm (4)

Функция Лагранжа.

Теперь находим экстремум этой функции. Здесь л1, л2, …лn –множители Лагранжа.

Предположим, что функция дифференцируема

L(u1, u2, …um, x1, x2, …, xn, l1, l2, …ln)

Необходимые условия экстремума:

/d'L/d'u1=0...

/d'L/d'um=0

/d'L/d'x1=0... необходимые условия экстремума

\d'L/d'xn=0

\F1=0

\Fn=0

Эта система содержит u+2m уравнений и u+2m переменных.

Мо(u10,..., um0, x10,..., xn0)

lо(k10,..., лm0)

Для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.

Достаточное условие экстремума

Пусть ф. u-f(x₁…..x_n) один раз дифференцируема в некоторой окрестн. (.) M₀ и 2 раза дифференцируема в самой (.)M₀. пусть кроме того M₀-стационарная (.) Тогда если d²u положительно определённая квадратичн. форма от переменных dx₁…..dx_n, то ф. имеет в (.)M₀ локальный минимум

Если d²u отриц. определённая квадратичн. форма, то ф. имеет в (.)M₀ локальный максимум

Если d²u знакопеременная квадратичная форма, то M₀ не явл. (.) экстремума

Замечание: при проверке критерия знакоопределённости квадратичной формы d²u мы анализируем матрицу А

d²u/dx₁² d²u/dx₂dx₁ ….. d²u/dx₁dx_n

А= d²u/dx₂dx₁ d²u/dx₂² ….. d²u/dx₂dx_n

…………………………………………

d²u/dx_ndx₁ …………………. d²u/dx_n²

Теор. Пусть ф. u=f(x, y) 1 раз дифференцруема в окрестности (.) M₀(x₀, y₀) и 2 раза в самой (.) M₀, тогда если в (.) M₀ выполняется условие d²u/dx² * d²u/dy² - d²u/dxdy * d²u/dydx > 0, то экстрем. В (.) M₀ существует, причём если d²u/dx² > 0, то M₀ (.) минимума; если

d²u/dx² < 0, то M₀ (.) максимума

Если d²u/dx² * d²u/dy² - d²u/dxdy * d²u/dydx < 0, то экстрем. ф. в (.)M₀ не существует.