Понятие неопределенного интеграла.

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке Х, то множество функций {F(x)+C} называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом ò f(x)dx=F(x)+C. При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, а переменная х- переменная интегрирования. ò f(x)dx- выражает множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х.

Восстановление функции по ее производной, т.е. отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции, т.к. F’(x)=f(x) ò F’(x)dx=F(x)+C

Интегрирование- операция обратная дифференцированию.

Замечание1.Чтобы проверить правильное интегрирование достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Замечание2.Далее будет доказано, что любая непрер функция имеет на этом отрезке первообразную, сл-но неопр интеграл.

Таблица основных интегралов:

1. ò 0dx=C

2. ò dx=x+C

1. ò х^a dx=
2. ò а^хdx=а^х/lna+C
3. ò dx/x=ln|x|+C
4. ò e^хdx=e^х+C
5. ò sinxdx=-cosx+C
6. ò cosxd'x=sinx+C
7. ò dx/cos²x=tgx+C
8. ò dx/sin²x=-ctgx+C
9. ò dx/ =arcsinx +C=-arccosx+c
10. ò dx/1+x²=arctgx+C=-arcctgx+C
11. ò dx/x²+ a² =1/a arctgx/a+C
12. ò dx/x²-a² =1/2a ln|x-a/x+a|+C
13. ò dx/ =arcsin x/a +C
14. ò dx/

Основные свойства неопр интеграла:

1. (ò f(x)dx)’=f(x) и d'(ò f(x)dx)=f(x)dx Доказательство: (ò f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x) и dò f(x)dx=(ò f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. ò dF(x)=F(x)+C. Доказательство: т.к. ò d'F(x)=F’(x)d'x, то по определению ò F'(x)d'x=F(x)+C

3. ò kf(x)dx=kò f(x)dx. Доказательство: (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). Из определения следует, что kò f(x)dx=k[F(x)+C]=kF(x)+C1=ò kf(x)dx, где С1=кС, ч.т.д.

4. ò (f(x)±g(x))dx=ò f(x)dx±ò g(x)dx. Доказательство: пусть F(x) и G(x) являются первообразными для функций f(x) и g(x) на промежутке Х, т.е. " хÎ Х F’(x)=f(x), G'(x)=g(x). Тогда функции F(x)±G(x) являются первообразными для функция f(x)±g(x). Следовательно, ò f(x)dx±ò g(x)dx=(F(x)+C1)±(G(x)+C2)=(F(x)±G(x))+(C1±C2)=[F(x)±G(x)]+C=ò (f(x)±g(x))dx