Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)

ФункцияF(x) называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке Х, если для любого х Х выполняется условие F’(x)=f(x). Например, функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=cosx на всей прямой, т.к. при любом значении x(sinx)’=cosx

Замечание.Задача нахождения первообразной решается неоднозначно.Действительно, если F(х) первообразная, то F(х)+с, где с-const, также явл первообразной, т.к. (F(х)+с)′ =F′ (х)+0=f(х) для всех х€Х.

Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна 0 постоянна на этом промежутке. f’(x)=0(x" X), то f(x)=c для всех х€Х.

Доказательство: Рассмотрим 2точки .Пусть х1< х2, тогда по Т. Лагранжа, f(x2)-f(x1)=f’(х0)(x2-x1), где х0€ (x1; x2). Т.к. f’(х0)=0, то f(x2)=f(x1)=0, т.е. f(x)=С, где С- некоторое число.

[Т] Если F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C.

Доказательство: Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, т.е. F’(x)=f(x). Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для функции f(x) на промежутке Х, т.е. Ф’(x)=f(x). Тогда для любого х'Х (Ф(x)-F(x))’=Ф’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 Т.о. мы получили, что производная функции равна 0, а это означает по лемме, что функция Ф(х)-F(x) постоянна, т.е. Ф(х)-F(x)=С, на промежутке Х, где С- некоторое число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+C.

Следствие 1: множество функций F(x)+C исчерпывает все множество первообразных функций для f(x).