Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Производная по направлению. Градиент.
Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x, y, z). Пусть она определена в некоторой окрестности точки Мо(хо, yo, zo). Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Мо. Каждый такой луч заадется единственным вектором (соsa, cosb, cosg). Если l- длина этого отрезка, то его координаты (lcosa, lcosb, lcosg) C другой стороны: (x-xo, y-yo, z-zo) Т.о. получили один и тот же отрезок: Приравняем u=f(Xo+lcosa, Yo+lcosb, Zo+lcosg) (1) Т.о. u- сложная функция. Производную указанной сложной функции по переменной l, взятую в точке l=0 нназывают производной функции u=f(x, y, z) в точке Мо по направлению, оопределяемому единичным вектором l. Обозначение: (2) Градиентом функции u=f(x, y, z) в данной точке Мо(xo, yo, zo) называется вектор, координаты которого имеют вид gradu(Mo)= Если: u=f(x1, x2, …, xn) Mo( [Т] Вектор градиента функции y=f(x, y, z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо, т.е. производные функции u=f(x, y, z) в точке Мо по направлению, определенному вектором градиента этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению с производной по любому другому направлению и это значение равно длине вектора градиента. Док-во: Из ф-л (1) и(2) → (gradu, e) =∂ u/∂ e ∂ u/∂ e=(gradu, e) = |gradu|*|e|*cosφ Cosφ =1 φ =0 Max значение достигается ↔ вектор е и вектор grad направлены одинаково. Тогда |∂ u/∂ e=gradu| Следствие. Вектор градиента не зависит от выбора координат. Геометрический смысл градиента: Линии уровня для функции двух переменных u=f(x, y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение. Если В каждой точке линии уровня M(xо, yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной. Поверхность уровня- фунция u=f(x, y, z) в точке Мо (xo, yo, zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение. Свойства: если в каждой точке Mo(xo, yo, zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.
|