Особенности современных инженерных задач

Цельрешения современных инженерных задач (СИЗ) – создание новой конструкции, разработка нового технологического процесса или новой технологии (актуально, компьютерной), минимизация затрат на производство некоторого изделия или, более широко, разработка оптимального режима работы производства или процесса, в основе всех этих задач лежит процесс принятия решения.

Решение принимается на основе анализа данных (вычисленных или получаемых из экспериментов).

Особенности СИЗ:

1. Инженерные задачи имеют выраженную практическую направленность, из чего следует необходимость доведения результатов до конкретных графиков, чисел, таблиц.

2. Большой объем вычислительной работы, сопровождающей решение, и необходимость использовать современные вычислительные средства.

3. Для этих задач характерно использование достаточно сложных математических моделей и серьезного математического аппарата.

4. Наличие и относительная доступность массовому пользователю современного программного обеспечения.

Наиболее часто используемым методом решения сложных технических задач является вычислительный эксперимент, основные этапы которого заключаются в следующем:

1. инженерная постановка задачи

2. математическая модель задачи

3. дискретная модель

5. обработка результатов

4. выбор численного метода и его реализация

На основе выполнения этапа 5 вполне возможно уточнение модели, после чего выполняются этапы, начиная с первого. В предлагаемом курсе рассматриваются 2, 3, 4 этапы.

При переходе от первого этапа ко второму инженер с помощью методов математического моделирования строит математическую модель своей задачи. В соответствии с [8] под математической моделью будем понимать приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Математическая модель – мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью математической модели, можно подразделить на четыре этапа.

Первый этап – формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого анализа фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

Второй этап – исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника – мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математических задач.

Третий этап – выяснение того, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена – все параметры ее были заданы, то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решение прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики остаются неопределенными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвертый этап – последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники, данные об изучаемых явлениях все более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании принятой математической модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели.

Вычислительная модель – типовая абстрактная или конкретная задача, соответствующая проблеме численного решения некоторого класса математических или прикладных задач.

Например, отработка методов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений исторически производилась путем исследования свойств методов на моделях из последовательности усложняющихся моделей (отрезок интегрирования ):

1) уравнение ;

2) уравнение , – порядка 1 (модели 1) и 2) соответствуют задаче интегрирования систем с гладкими решениями на небольших промежутках времени);

3) уравнение , ; эта модель соответствует задаче интегрирования на больших промежутках времени систем с устойчивыми решениями;

4) уравнение , модель уравнения с особенностями производных решения;

5) система , , , – порядка 1; модель так называемой жесткой дифференциальной системы, у которой одни компоненты решения меняются относительно медленно, а другие быстро.