Метод простой итерации

Чтобы применить метод простой итерации для решения нелинейного уравнения , необходимо преобразовать это уравнение к следующему виду: . Функцию будем называть итерационной функцией. Выберем каким-либо образом приближенное значение корня и подставим его в правую часть последнего уравнения. Получим значение . Подставляя теперь в правую часть уравнения , имеем . Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений к корню, вычисляемых по формуле . Итерационный процесс следует продолжать до тех пор, пока после некоторой итерации с номером не будет выполняться неравенство . После этого с погрешностью полагают: . Неравенство является критерием окончания, который на практике заменяет собой априорные и апостериорные оценки погрешности.

Пример: С помощью метода простой итерации вычислить положительный корень уравнения с точностью .

Решение: Результат предыдущего примера дает отрезок локализации . Преобразуем уравнение к виду , где . Заметим, что , . Так как на , то производная монотонно убывает и . Следовательно, условие сходимости выполнено. Возьмем , и будем вести итерации до выполнения критерия . В таблице приведены соответствующие приближения с 10 знаками мантиссы.

	0.7000000000
	0.7046714292
	0.7029968319
	0.7035984939
	0.7033824994
	0.7034600632

Критерий окончания выполняется при . После округления значения до четырех значащих цифр получим .