О культуре вычислений

При анализе решения инженерной задачи, полученного с применением компьютерных технологий, важно понимать, что численное решение почти всегда содержит погрешность, т.е. является приближенным. Невозможность получения точного решения задачи при использовании компьютерных технологий связана с ограниченностью разрядной сетки вычислительного средства.

Наличие погрешности решения обусловлено рядом весьма глубоких причин:

1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.

2. Исходные данные обычно содержат погрешности, поскольку они, как правило, либо получаются в результате экспериментов, либо являются результатом численного решения некоторых вспомогательных задач.

3. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных ситуациях. Применяемые для решения задачи численные методы могут дать лишь приближенное решение задачи.

4. Вклад в погрешность решения дает также вычислительная погрешность, возникающая при округлении в ходе выполнения арифметических операций.

Для того чтобы правильно вычислять, необходимо соблюдать правила, определяющие «культуру пользователя». Рассмотрим наиболее важные.

ПРАВИЛО 1

Точность результата вычислений не может превосходить точности исходных данных.

Определение: Пусть – точное (вообще говоря, неизвестное) значение некоторой величины, – известное приближенное значение той же величины (приближенное число). Ошибкой (или погрешностью) приближенного числа называется разность между точным и приближенным значениями.

Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность

.

Однако по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Действительно, если , то следует ли считать погрешность большой или нужно признать ее малой? Ответ существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин. Если , то, скорее всего точность приближения невелика; если же , то следует признать точность очень высокой. Таким образом, естественно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности (при )

.