![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Алгебраическое интерполирование
Если базисные функции представляют собой степенные функции, то в качестве Постановка задачи: Пусть функция Распишем условие интерполирования для каждого узла таблицы:
Требуется при известных Определитель системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля:
Таким образом, верна следующая теорема. Теорема: существует единственный интерполяционный многочлен степени Заметим, что на практике построение интерполяционного многочлена путем решения системы (1) не используется, поскольку соответствующая вычислительная задача, как правило, является плохо обусловленной. Рассмотрим два способа построения интерполяционных многочленов – в форме Лагранжа и Ньютона. Из теоремы следует, что различные интерполяционные многочлены (Лагранжа, Ньютона и т.д.) отличаются друг от друга только формой записи. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа В основе нахождения интерполяционных многочленов в форме Лагранжа лежит построение вспомогательных многочленов В частности,
Заметим, что наименьшая степень многочлена, удовлетворяющая условию интерполирования для таблицы из Пример 1: Пусть известны значения функции в узлах таблицы
Требуется вычислить значение функции в точке Решение: Составим интерполяционный многочлен Лагранжа первой степени, замечая, что точка, в которой требуется вычислить значение функции лежит между Канонический вид многочлена Лагранжа первой степени имеет вид: Составим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени. Для этого к выбранным ранее точкам
Канонический вид многочлена Лагранжа второй степени имеет вид: Составим интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени. Для этого в качестве опорных точек выберем
Канонический вид многочлена Лагранжа третьей степени имеет вид: На одном рисунке представлены графики интерполяционных многочленов в форме Лагранжа первой, второй и третьей степени.
|