Погрешность интерполирования

Пусть функция раз дифференцируема на отрезке . Тогда для оценки погрешности интерполяции многочленом Лагранжа степени в точке справедливо равенство

, (2)

На практике пользоваться этим соотношением невозможно, так как точка заранее неизвестна, поэтому в практических расчетах пользуются следствием из этого утверждения, а именно

, , где под понимается интервал, на котором был построен многочлен Лагранжа степени .

Оценку для погрешности интерполяции в точке многочленом Ньютона, не являющейся узловой, можно получить из формулы (2) следующим образом:

Заметим, что в случае, когда величина мала, а функция достаточно гладкая, справедливо приближенное равенство

,

из которого следует, что

.

Оценим погрешность вычислений искомой функции в заданной точке из примера 1. Для многочленов Лагранжа в качестве будем выбирать максимальное по модулю значение функции из заданной таблицы на соответствующем интервале . Тогда

Оценим погрешность вычислений искомой функции в заданной точке из примера 2.

В случае, когда есть возможность выбирать узлы интерполирования, рекомендуется в качестве узлов выбирать корни многочленов Чебышева

, .

Это позволяет минимизировать погрешность интерполирования.