Метод Эйлера. Этот метод является сравнительно грубым и применяется, в основном, для ориентировочных расчетов

Этот метод является сравнительно грубым и применяется, в основном, для ориентировочных расчетов. Однако. идеи этого метода являются исходными для других методов. Итак, нужно найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2).

Разобьем отрезок [х₀, b] на n равных частей.

Пусть y = φ _h(x) – приближенное решение этого уравнения. Обозначим

y₀ = φ _h(x₀), y₁ = φ _h(x₁),..., y_n= φ _h(x_n)

Δ x _i = x _{i + 1} – x _i,

Δ y _i = y _{i + 1} – y_i.

y

Δ y₁

Δ y₀ y = φ (x) y _i – искомые ординаты интегральной.

y₂ y _i y_n кривой.

y₀ y₁

x₀ x₁ x₂......x _i... b x

Рассмотрим уравнение (1) на отрезке [x₀, x₁]. Заменим производную на , а правую чаcть на f(x₀, y₀). Тогда,

На отрезке [x₁, x₂]

Соединяя точки (x _i, y _i) отрезками прямых, получим ломаную Эйлера.

Можно показать, что если выполняются условия теоремы Коши, то

.

Ломаная Эйлера будет стремиться к интегральной кривой.