Метод Рунге-Кутта. Более точным методом численного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Рунге- Кутта

Более точным методом численного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Рунге- Кутта. Метод Рунге-Кутта является одним из методов повышенной точности.. Этот метод является усовершенствованным методом Эйлера.

Пусть на отрезке [x₀, b] требуется найти численное решение уравнения

y′ = f(x, y) (1)

с начальными условиями

y = y₀ при x = x_0. (2)

Разобьем отрезок [x₀, b] на n равных частей точками x _i = x₀ + i h (i = 0, 1,..., n), где

- шаг интегрирования.

Так же как и в методе Эйлера, последовательность значений y _i искомой функции y определяется по формуле

y_{i + 1} = y_i + Δ y_i

Если разложить функцию у в ряд Тейлора и ограничиться членами до h⁴ включительно, то приращение Δ y представляется в виде

(3)

Вместо вычислений производных по формуле (3) в методе Рунге-Кутта определяются четыре числа

Можно показать, что если числам k⁽ⁱ⁾_j (j =1, 2, 3, 4) придать соответственно вес ¹/₆, ¹/₃, ¹/₃, ¹/₆, то средневзвешенное этих чисел будет приближенно равно Δ y _i+1/

Числа имеют простой геометрический смысл.

y _i + k₁h

y_i + k₂h

y_i

y _i + k₃h

y_i + k₄h

x _i x _i + h/2 x _i + h x

Оценка точности этого метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью «двойного пересчета» по формуле

Здесь y(x_i) – значение точного решения уравнения (1), а y_i и y_i^* - приближенные значения, полученные с шагом h и ^h/₂. Отсюда, задав погрешность формул Е, следует добиться того, чтобы значения у_i. полученные с шагом h и с шагом ^h/₂, удовлетворяли условию

|y^*_i – y_i| < ¹⁵/₁₆ E.