Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Одномерная оптимизация – это процесс нахождения экстремума функции одной переменной.
|
|
Пусть f(x) – функция, определенная на промежутке [a, b].
Функцию f(x) называют унимодальной, если на отрезке [a, b] существует единственная точка х*, в которой f(x) принимает экстремальное значение.
Для определенности будем считать, что речь идет о минимуме функции (в случае максимума, взяв функцию –f(x), сведем задачу к нахождению минимума). Функция f(x) называется целевой функцией, аргументы х называются параметрами.
Отметим, что функция f(x) не обязательно должна быть гладкой или даже непрерывной. Из определения унимодальности следует, что если х1 < x2 ≤ x*, то f(x1) > f(x2). Аналогично, если x* ≤ x1 < x2, то f(x1) < f(x2).
Интервал x i-1 ≤ x* ≤ x i называется интервалом неопределенности. Алгоритм выбора абсцисс {x i} называется стратегией поиска.
Оптимальной стратегией поиска называется та, которая при заданном количестве вычислений, дает наименьший интервал неопределенности.
Один из путей более эффективного поиска точки x* состоит из построения вложенных отрезков [a1, b1], [a2, b2],... [ai, b i], содержащих точку минимума. Действительно, пусть
a i < x 1 < x 2 < b i. Сравним f(x) в пробных точках.
Если f(x1) ≤ f(x2), то можно сократить отрезок поиска точки x*, перейдя к отрезку [ ai, x 2] . Если f(x1) ≥ f( x2) то можно перейти к отрезку [x 1, b i].
 |
f(x1) ≤ f(x2) f(x1) ≥ f(x2)
 | |||
 | |||
 |  |  | |||||||||
 |  | ||||||||||
 | |||||||||||
ai x* x*
x1 x 2 bi ai x 1 x2 bi
Решение достигается при получении заданной точности Е, т. е. при условии, что длина отрезка, на котором расположено значение х* , меньше Е, и x* равно половине длины этого интервала..
Способ получения точек х1 и х2 определяет метод оптимизации. Мы рассмотрим два метода: метод дихотомии и метод золотого сечения.