Теоретические основы метода. Метод итераций для решения СЛАУ рассмотрим на примере системы, состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными

Метод итераций для решения СЛАУ рассмотрим на примере системы, состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными

(3.1)

Требуется определить приближенные решения системы с заданной точностью e.

Аналогично методу Гаусса, будем предполагать, что

a_ii ¹ 0, i = 1, 2, 3.

Систему (3.1) приведем к виду, удобному для итераций. Для этого выразим неизвестные, лежащие на главной диагонали:

(3.2)

Введем обозначения:

Тогда система (3.2) перепишется:

(3.3)

В качестве нулевого приближения можно принять произвольную тройку чисел. Например:

Здесь и в дальнейшем верхний индекс обозначает номер итерации.

Выбранные нулевые приближения подставим в правую часть системы (3.3), вычислим и найденные значения примем в качестве первого приближения:

Найденные первые приближения вновь подставим в правые части системы (3.3), вычислим и найденные значения примем в качестве второго приближения:

Рассуждая аналогично, на итерации с номером n получим

(3.4)

Соотношения (3.4) и есть расчетные формулы метода итераций для СЛАУ.

Приведенная итерационная процедура является сходящейся к точному решению при выполнении следующего условия: в матрице коэффициентов А максимальные по модулю элементы для каждой строки должны находиться на главной диагонали. Выполнение этого свойства может быть обеспечено путем суммирования и перестановки уравнений. Заметим, что это свойство является достаточным, но не необходимым.

Описанную итерационную процедуру следует прекратить на итерации с номером k при выполнении неравенства

и в качестве приближенного решения задачи принять числа .

Заметим, что из соотношения (3.4) следует, что каждое последующее приближение вычисляется с использованием значений предыдущей итерации.