Теоретические основы метода. Пусть имеется набор опытных данных , i=1,2, ,n, связанных линейной зависимостью

Пусть имеется набор опытных данных , i=1, 2, …, n, связанных линейной зависимостью

.(6.1)

Причём между значениями существует стохастическая (случайная) связь. В этом случае не все опытные точки будут принадлежать графику зависимости (6.1), называемой уравнением линейной регрессии.

Необходимо по опытным данным определить параметры a и b зависимости (6.1).

В качестве меры близости опытных точек и теоретических значений, принадлежащих прямой (6.1), выберем сумму квадратов отклонений теоретических и опытных точек

. (6.2)

Очевидно, что чем меньше сумма (6.2), тем ближе опытные точки и теоретическая прямая (6.1).

Положение прямой (6.1) на плоскости определяется коэффициентами a и b. Сумма (6.2) зависит от положения прямой на плоскости. Следовательно, она функционально зависит от a и b, т.е.

.

Верхний индекс в последней формуле означает, что величина теоретическая.

Подставляя соотношение (1) в (2), получим:

.

Здесь a, b - аргументы; x_i, y_i - заданные числа.

Функция двух переменных может достичь свой локальный экстремум в точке, в которой обе частные производные обращаются в нуль одновременно:

(6.3)

Вычислим левые части уравнений системы (6.3):

,

т.е.

(6.4)

В системе (6.4) b могут быть вычислены все суммы по данным опытным точкам. Решение системы (6.4) имеет вид

где

Под коэффициентом корреляции r понимают число, которое характеризует степень взаимозависимости переменных x и y. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

.

Если r = ± 1, то имеется функциональная зависимость, все опытные точки лежат на прямой регрессии. Если r = 0, то переменные x и y называют некоррелированными (независимые величины). Переменные x и y тем сильнее коррелированы (взаимозависимы), чем ближе значение к единице.

В рассмотренном выше методе изначально предполагалось, что связь между наборами x и y линейная. Если же из каких-либо соображений на практике наблюдается нелинейная зависимость, то данным методом можно определить параметры этой зависимости.