Теоретические основы метода. Пусть задана функция f(x) и некоторый отрезок [a, b], причем для любого xÎ[a, b]

Пусть задана функция f(x) и некоторый отрезок [a, b], причем для любого xÎ [a, b]

f(x) ³ 0. (4.2)

При выполнении условия (2) значение интеграла (1) совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, вертикальными прямыми x = a и x = b и графиком функции y = f(x). Вычислим эту площадь с заданной точностью e.

Отрезок [a, b] разобьем на n частей длиной . При этом получим n+1 граничную точку, т.е.

a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b, x_i = x₀ + i h, i=1, 2, …, n+1.

В каждой граничной точке восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком функции, точку пересечения назовем узлом. Соединим отрезком прямой каждую пару близлежащих узлов, при этом получим n обычных трапеций. Сумма площадей этих трапеций отличается от площади криволинейной трапеции не более чем на заштрихованную область на рис.1. Поэтому для искомой площади криволинейной трапеции можно приближенно записать

,

где S_i - площадь трапеции с номером i. Тогда

Последнее соотношение есть формула трапеций для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции и, следовательно, рассматриваемого интеграла. Точность вычислений возрастает при увеличении числа n. Требуемая точность вычисления будет достигнута при выполнении неравенства

; .

При невыполнении условия (4.2) полученная формула также может быть использована в силу того, что приведённые выше рассуждения совпадают по содержанию с интегральной суммой определённого интеграла.

Элементарная формула Симпсона (парабол)