Теоретические основы метода. Пусть необходимо вычислить с заданной точностью e.

Пусть необходимо вычислить с заданной точностью e.

Отрезок [a, b] разобьем на n отрезков одинаковой длины . Причем n - четное число. После разбиения отрезка получим n+1 граничную точку, т.е. a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b, x_i = x₀ + i h, i=1, 2, …, n+1.

В каждой точке разбиения восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком функции y = f(x), в результате получим n+1 узловую точку пересечения и пар близлежащих отрезков.

В методе трапеций внутри каждого отрезка разбиения подынтегральная функция была приближенно представлена в виде отрезка прямой f(x)» ax+b. В данном методе подынтегральная функция внутри каждой близлежащей пары отрезков заменяется квадратичной зависимостью: f(x)» j(x)=ax² +b +g. Тогда рассматриваемый интеграл приближенно можно представить с учетом элементарной формулы Симпсона в виде

Последнее соотношение есть обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла.

Заданная точность e будет достигнута при выполнении неравенства

; .

Формула Симпсона обладает более высокой точностью при фиксированном числе n по сравнению с формулой трапеций в силу того, что, как известно из курса математического анализа, чем выше степень полинома, тем точнее этот полином аппроксимирует рассматриваемую функцию.

Лабораторная работа № 5

Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка