Введение в эконометрику

Эконометрика – раздел математики, позволяющий описывать экономические процессы и явления с использованием статистического моделирования. Эконометрика рассматривает стохастические процессы, в которых рассматриваемые переменные могут принимать случайные значения.

Важным частным случаем стохастической зависимости служит регрессионная, ставящая в соответствие множеству входных переменных среднестатистическое значение выходной случайной переменной.

Эконометрическое моделирование позволяет проанализировать зависимость между переменными в экономической системе:

экзогенные переменные эндогенные переменные ----------------------------------> экономическая система ------------------------------> Х (входные) У (выходные)

Таким образом, эконометрика позволяет строить математические модели на базе реальных фактических данных экономической системы.

В эконометрии могут быть следующие задачи:

1) по заданным эмпирическим данным построить функциональную зависимость между переменными;

2) определить параметр этих уравнений.

Сложность экономических процессов и явлений приводит к различным формам эконометрической зависимости:

· линейная или нелинейная регрессия;

· множественная регрессия.

Совокупность методов, позволяющих находить зависимость между статистическими данными, получила название регрессионного анализа.

Например, эконометрическую модель зависимости текущей и форвардной цен на валюту можно представить следующим образом:

p_{t + 1} = a₀ + a₁ f_t + ε _t+1,

где a₀ –автономный параметр, a₁ – параметр спроса на валюту, p_t – цена валюты на рынке в текущий момент, f_t –цена на валюту в будущий период.

Особую роль эконометрический анализ играет в макроэкономике. Рассмотрим модель Лоренса Клейна.

Модель, придавая планируемые значения трем экзогенным переменным, которые задаются вне модели:

G_t – государственные расходы в период t,

M_t – денежная масса (кассовые остатки),

N_t – население страны,

позволяет получать прогнозные значения девяти эндогенных переменных:

Y_t – валовый национальный доход;

K_t – валовый объем основного капитала;

L_t – численность рабочей силы;

I_t – объем валовых инвестиций;

C_t – объем валового потребления;

U_t – численность безработных;

w_t – уровень заработной платы;

r_t – уровень ставки %;

p_t – уровень цен.

Уравнения поведения, содержащие случайную переменную ε, составляют систему уравнений (*):

1. Потребительская функция:

C_t = a₀ + a₁ Y_t + ε _t(C), 0 < a₁< t;

2. Инвестиционная функция:

I_t = b₀ + b₁ Y_t + b₂ r_t + b₃ K_t-1 + ε _t(I);

3. Монетарная функция:

M_t = C₀ + C₁ Y_t + C₂ r_t + ε _t(M);

4. Производственная функция:

Y_t = d₀ K_t^d1 L_t^d2 ε _t(Y);

5. Инфляционная функция

dln p_t = k₀ + k₁ dln w_t + ε _t(p);

6. Функция динамики заработной платы:

dln w_t = l₀ + l₁ dln p_t + l₂ dln Y_t + l₃ / U_t + ε _t(w);

Балансовые тождества:

7. Y_t = C_t + I_t + G_t;

8. U_t = N_t – L_t;

9. K_t = K_t-1 + I_t.

Примечание: в ряде случаев коэффициенты могут иметь как положительный, так и отрицательный знаки.

Система (*) – это пример модели множественной регрессии. Полученные прогнозные значения эндогенных переменных дают информацию для проведения государством рациональной стабилизационной экономической политики. Данная модель позволяет осуществлять прогнозирование макроэкономических показателей в краткосрочном исреднесрочном периодах.

8) Линейная регрессионная модель: простая регрессия, модель множественной регрессии.

В статистическом анализе различают два типа регрессионных моделей: простую и множественную.

Простая регрессия

y = f(x; a) + ε (1)

y – эндогенная переменная,

x – экзогенная переменная,

a – неизвестный вектор параметров модели,

ε – случайная «шоковая» переменная.

Под термином «шоковая» переменная в регрессии понимают не только случайные(переменные погрешности) модели, но и экзогенные(факторные) переменные, которые считаются несущественными(незначимыми)и по степени влияния на эндогенную переменную.

В эконометрике наиболее подробно изучен частный случай простой линейной регрессии, в которой линейность означает пропорциональную зависимость y от x посредством неизвестных параметров:

y = a₀ + a₁x + ε (2),

где a₀ и a₁ – неизвестные параметры модели.

Примером модели (2) является модель макроэкономики, отражающая закон А.Оукена об обратной зависимости темпа роста ВНП от темпа роста уровня безработицы:

∆ Y_t / Y_t = ã ₀ + ã ₁ * ∆ U_t / U_{t ,}

где ∆ Y_t и ∆ U_t –абсолютные приросты объема ВНП (Y_t) и уровня безработицы (U_t) за определенный период времени t. Оценки параметров по данным американской статистики составили: ã ₀ = 3%, ã ₁ = - 2.

Модель множественной регрессии

y = f(x_1, x_{2, …,} x_m; a) + ε (3),

где описывается зависимость одной эндогенной переменной от m (m> 1) экзогенных переменных.

Случайные отклонения ε связаны с влиянием неучитываемых факторов. Т.к. ε – случайная величина, то и y – случайная величина. Поэтому задача восстановления зависимости y от x_1, x_{2, …,} x_m может быть решена лишь при многократных наблюдениях этих переменных, полученных в различные моменты времени t = 1, 2, …, T. Результаты статистических наблюдений помещают в специальную таблицу исходных данных:

В общем случае уравнения множественной регрессии решаются при условии задания статистических данных во времени. Основная задача состоит в определении коэффициентов множественной регрессии и в определении адекватности модели.

Рассмотрим задачу определения параметров уравнения регрессии. Существует несколько методов, позволяющих дать приближенное описание экономического явления или процесса. К ним относятся:

· метод максимального правдоподобия (ММП);

· байесовский метод;

· метод моментов;

· метод наименьших квадратов (МНК).

На практике наибольшее применение нашел МНК, в частности, для отыскания коэффициентов линейного приближения уравнения регрессии.

y = f(x; a) + ε (1);

y = a₀ + a₁x + ε (2).

Однако МНК обеспечивает оптимальные свойства МНК-оценкам лишь при выполнений следующих условий:

1) Отсутствие систематических ошибок наблюдений уравнения регрессии:

M [ε _t] = 0, t = 1, 2, …, T.

2) Наблюдения производятся с одинаковой точностью, т.е. дисперсии случайных переменных одинаковы во все моменты измерения:

D [ε _t] =σ _t², t = 1, 2, …, T.

3) Наблюдения организованы так, что случайные ошибки не коррелированны между собой:

M [ε _t*ε _r ] = 0, t ≠ r, t = 1, 2, …, T.

4) Случайные ошибки должны удовлетворять нормальному закону распределения вероятностей случайных величин.

5) Теорема Гаусса-Маркова

МНК дает наиболее оптимальное уравнение линейной регрессии, т.к. параметры регрессии обладают наименьшими дисперсиями среди всех несмещенных оценок и линейно-зависимых от эндогенных переменных оценок с учетом условий 1)- 4).

Пример. Пусть существует y_i^ф, x_i^ф, y_i^т = a₀ + a₁x_i (3)

Рассмотрим линейное приближение и возможность минимизации квадрата отклонений теоретических значений от экспериментальных.

S = ∑ (y^т – y_i^ф)² → min (4).

i

Решаем задачу для линейного приближения.

S = ∑ (a₀ + a₁x_i – y_i^ф)² = 0 (5).

i

Для определения коэффициентов линейной регрессии возьмем частные производные: ∂ S / ∂ a₀ = 2 ∑ (a₀ + a₁x_i – y_i^ф)² = 0 (6),

i

∂ S / ∂ a₁= 2 ∑ (a₀ + a₁x_i – y_i^ф)² x_i = 0 (7).

i

Решая (6) и (7) совместно, находим коэффициенты a₀ и a₁:

na₀ + a₁∑ x_i^ф – ∑ y_i^ф = 0,

I (8)

a₀∑ x_i + a₁∑ x_i²– ∑ x_i y_i = 0.

I i i

В системе (8) известны x_i и y_i. Решая данную систему, получаем a₀ и a₁.