Постоянные финансовые ренты. Дисконтирование финансовых рент.

Рассмотрим процедуру дисконтирования, т.е. приведение будущей ставки S_t к начальному моменту

S₀ = S_t/(1+ p_t)^t

Пример: В банк предъявлен вексель на сумму 20 млн.руб., который содержит обязательства выплаты его владельцу данной суммы 15.12.2007 года. Владелец предъявил вексель досрочно 15.10.23007 года, и банк согласился выплатить сумму. Исходя из %-ной ставки 120% годовых найти сумму, которую получит владелец векселя в случае схемы простых и сложных процентов.

Во многих случаях финансовых банковских операций коммерческие сделки предусматривают не разовые платежи, а многократные распределённые во времени выплаты и поступления. Например, получение и погашение кредита.

Последовательность распределённых во времени платежей и выплат называется потоком платежей.

Поток платежей, все составляющие которого положительны и поступают в одинаковые интервалы времени, называется финансовой рентой.

Основные параметры финансовой ренты: величина каждого отдельного платежа; период ренты; срок ренты; %-ная ставка.

Финансовую ренту называют постоянной, если все платежи имеют одинаковую величину.

Пусть платежи осуществляются ежегодно. следовательно, наращение суммы финансовой ренты осуществляется не только за счёт начисления %, как при разовых платежах, но и за счёт периодических платежей.

_{n n}

S(t) = S(n) = ∑ C(1+p)^n-k = C∑ (1+p)^n-k (1)

^{k=1 k=1}

Элементы (1+p)^n-k образуют при n→ ∞ геометрическую прогрессию со знаменателем (1+p). С учётом этого (1+p)ⁿ - 1

S(n) = C p, (2)

Наращенную сумму финансовой ренты к моменту последнего платежа обозначают FV.

Из уравнения (2) следует, что можно определить один неизвестный параметр, если известны остальные:

ln [C + p S(n)] – ln C

срок накопления S(n) - n = ln (1+p) (3)

S(n)p

платёж - C = [(1+p)ⁿ - 1] (4)

C[(1+p)ⁿ - 1]

процентная ставка - p = S(n) (5)

Во многих случаях потоки платежей необходимо дисконтировать к некоторому начальному моменту. Результат S(0) приведения потока к моменту t₀ называется современной приведенной величиной PV. Пусть по-прежнему рассматривается поток платежей C(t) = C, при t = 1, 2, …, k, n.

_n C

=> S(0) = ∑ (1+p)^k (6)

^k=1

рассматривая её как геометрическую прогрессию, получим

C [1 - (1+p)^-n]

S(0) = p (7)

Отсюда несложно определить размер периодического платежа по погашению кредита

S(0)p

C = 1 + (1+p)^-n (8)

S(0)p

Количество платежей: (1+p)^-n = 1 – C

или ln [(1 - S(0)p)/C]

n = ln (1+p) (9)

S(0)pC

=> 1 – C > 0 и S(0) < p, в противном случае кредит не будет погашен.

Если требуется рассчитать процентную ставку, под которую следует предоставлять кредит в размере S(0) с ежегодными выплатами C и срокомпогашения n лет, то из выражения (7):

S(0)p(1+p)ⁿ – C(1+p)ⁿ + C = 0. (10)