Понятие ряда Фурье

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или, символической записи:

(1)

где ω, a₀, a₁, …, a_n, …, b₀, b₁, …, b_n, …- постоянные числа (ω > 0).

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ (χ), в виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ (x) на заданном промежутке такой ряд (1), который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ (x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х₀, в силу периодичности функций (n=1, 2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S_n (x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

а потому и , т. е. S(x₀ +T)=S(x₀). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ (x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ (x) периодической функцией.