Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

Признак Даламбера. Пусть дан числовой ряд

с положительными членами и пусть существует предел

ρ = .

Тогда при ρ < 1 ряд сходится, а при ρ > 1 ряд расходится.

Можно указать как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых ρ = 1.

Признак Коши. Пусть для числового ряда (1) с положительными членами существует предел

σ =

Тогда при σ < 1 ряд сходится, а при σ > 1 ряд расходится.

Можно указать как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых σ = 1.

Интегральный признак Маклорена-Коши. Пусть члены ряда (1) являются значениями некоторой функции f[x] вещественного аргумента x, которые она принимает при натуральных значениях аргумента

= f [n].

Пусть функция f[x] при x≥ 1 непрерывна, положительна и монотонно убывает при x→ +∞, тогда ряд (1) сходится или расходится в зависимости от того, существует или нет несобственный интеграл

f[x]dx

Теорема сравнения. Пусть даны два положительных ряда

(*) и (**)

Если, начиная с некоторого номера N, т.е. при n > N, выполняется неравенство ≤ , то из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*), а из расходимости ряда (*) следует расходимость ряда (**).