Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда (1.28) монотонно убывают по абсолютной величине, стремясь при этом к нулю, то есть если

A1 > A2 > A3 > …, и , (2)

То знакочередующийся ряд (1) сходится, причем его сумма S заключена в интервале 0 < S < A1, то есть не превосходит первого члена ряда.

Доказательство.

1. Сначала рассмотрим произвольную частичную сумму S2M С четным числом слагаемых ряда (1.28). Учитывая монотонное убывание (2) членов ряда, приходим к выводу, что

S2M = (A1 – A2) + (A3 – A4) + … + (A2M-1 – A2M) > 0, (3)

Причем с ростом M Сумма S2M возрастает. С другой стороны, для любого M имеем:

S2m = a1 – (a2 – a3) – (a4 – a5) – … – (a2m-2 – a2m-1) – a2m < a1 (4)

Таким образом, с увеличением M Частичная сумма S2M Монотонно растет, но всегда меньше A1. Отсюда по теореме Вейерштрассаследует, что существует

, причем S < A1 (5)

2. Рассмотрим теперь частичную сумму S2M+1 ряда (1) с нечетным числом слагаемых: S2M+1= S2M +A2M+1. Тогда, согласно (5) и (2),

(6)

Таким образом, и при четных, и при нечетных значениях номера N для частичных сумм Sn знакочередующегося ряда (1) имеем:

- число, причем 0 < S < A1 (1.34)

А это и означает, что S – сумма ряда (1), причем 0 < S < A1. Признак Лейбница доказан.

Примечание. Признак Лейбница позволяет не только устанавливать сходимость – расходимость знакочередующегося ряда (1), но и позволяет, при условии его сходимости, находить сумму S с любой заданной точностью. Действительно, сложив в ряде (1) какое-либо число N его первых слагаемых и отбросив остальные, мы фактически отбросим знакочередующийся ряд, начинающийся со слагаемого AN+1, сумма которого, по признаку Лейбница, не будет превосходить этого первого отброшенного слагаемого. Значит, и ошибка при вычислении суммыS Знакочередующегося ряда не будет превосходить первого из отброшенных слагаемых этого ряда. Этим обстоятельством широко пользуются для приближенного нахождения сумм сходящихся знакочередующихся рядов с нужной точностью.

Пример 10. Показать, что знакочередующийся ряд

(7)

Сходится, и найти его сумму S с точностью до 0, 01.

Решение. Данный ряд сходится по признаку Лейбница. Для нахождения его суммы S с точностью 0, 01 найдем первое из слагаемых этого ряда, по абсолютной величине меньше 0, 01. Это, очевидно, пятое слагаемое. Отбрасывая его и остальные, следующие за ним, слагаемые, получим: