Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Понятие числового рядаСтр 1 из 11Следующая ⇒
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА…………………………………..….3 1.1 Понятие числового ряда………………………………………………….…3 2.СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ…………..…4 2.1 Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами…....4 3.ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА……………...5 3.1 Понятие знакочередующегося ряда………………………………………..5 3.2 Признак Лейбница…………………………………………………………..6 4.АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ…………………………………………………………………………..7 4.1 Абсолютная и условная сходимость………………………………………7 4.2 Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов………..8 5.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ………………………………………………8 5.1Основные понятия…………………………………………………………..8 5.2Функциональный ряд, его сходимость…………………………………….9 6.СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ………………………………………………………..10 7.РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ…………………….11 8.ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ…….12 8.1. Вычисление значений функций с помощью рядов……………………..13 9.РЯДЫ ФУРЬЕ………………………………………………………………..13 9.1. Понятие ряда Фурье………………………………………………………13 9.2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье……………….14 9.3 Оценка коэффициентов Фурье……………………………………………15 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………..20 ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА Понятие числового ряда ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пара числовых последовательностей { an } и { Sn }, где называется (числовым) рядом (или бесконечной суммой) и обозначается . Элементы последовательности { an } называют членами ряда, а элементы последовательности { Sn } – частичными суммами ряда. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел последовательности { Sn }, который мы обозначим S, тогда S называют суммой ряда; а сам ряд именуют сходящимся и пишут: . Если же последовательность { Sn } не имеет конечного предела, ряд именуют расходящимся. Для задания ряда достаточно задать только одну из последовательностей { an } или { Sn }. Сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности { Sn }, и поэтому исследование ряда можно свести к исследованию последовательности { Sn }. 1.2.Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд сходится, тогда последовательность членов ряда { an } имеет предел равный нулю. (Свойство следует из Критерия Коши для сходимости последовательности { Sn }.) 2. (Сходимость линейной комбинации) Если два ряда сходятся, то сходится и их линейная комбинация, причем: (Свойство следует из свойства сходимости линейной комбинации последовательностей, примененного к последовательностям частичных сумм.) 3. Для ряда назовем k -ым остатком ряда ряд вида . Если ряд сходится, тогда сходится и любой его остаток. Если сходится какой-то из остатков, тогда сходится и весь ряд, причем если обозначить Rn сумму n -го остатка ряда, тогда при любых значениях n выполнено равенство: S = Sn + Rn 4. Из предыдущего свойства следует, что остатки сходящегося ряда стремятся к нулю.
|