Нұқсанды және нұқсансыз сызықтық операторлар

Сызық тық операторларды кө бейту амалының негізінде оператордың дә режесі ұ ғ ымын енгізуге болады. Егер кө бейтіндісінде -дің орынына -ді қ ойса, онда кө бейтіндісін операторының квадраты деп атайды жә не деп белгілейді: = . Осығ ан ұ қ сас = анық талады, т.с.с.

Осылайша жалғ астырып, операторының n дә режесін = тү рінде анық таймыз. Сызық тық оператордың ноль дә режесі = деп анық талады.

Ө рісте берілген n ө лшемді V векторлық кең істіктегі сызық тық операторлардың ішінде ө зара бірмағ ыналы болатын операторлардың орыны ерекше.

Анық тама. Егер V векторлық кең істігінде берілген сызық тық операторы ү шін сызық тық операторы табылып,

= = (*)

тең дігі орындалса, онда операторын нұ қ сансыз немесе қ айтарымды деп атайды.

Ә рине, қ андай да бір тү рлендіруі (*) тең дігін қ анағ аттандырса, онда ол сызық тық болады, нұ қ сансыз болады жә не біреу ғ ана болады. Жә не ол тү рлендіруді операторына керіоператор деп атап, деп белгілейді. Сонда,

( – нұ қ сансыз сызық тық оператор) def ( = = ) (**)

Бұ дан, ( – нұ қ санды сызық тық оператор) def ( ≠ ≠ )

Нұ қ сансыз сызық тық оператор векторлық кең істіктің автоморфизмі болады.

Сызық тық оператор ө зара бірмағ ыналы (биективті) болғ анда ғ ана, тек қ ана сонда нұ қ сансыз болады.

n ө лшемді V векторлық кең істіктегі сызық тық операторының қ андайда бір базистегі матрицасы А нұ қ сансыз матрица болғ анда ғ ана, тек қ ана сонда, оператордың ө зі де нұ қ сансыз болады.

Сызық тық операторлар сақ инасы мен квадрат матрицалар сақ инасы изоморфты болғ андық тан, (**)-ғ ы тең діктерге сә йкес мынадай матрицалы тең діктер дұ рыс болады:

А ·А = А ·А = Е,

мұ ндағ ы А – сызық тық операторының (А матрицасы берілген базистегі) матрицасы. Соң ғ ы тең діктен А , А матрицалары бір – біріне кері матрицалар екені тү сінікті. Онда А = А .

Сонымен, векторлық кең істікте сызық тық оператор қ андайда бір базисте нұ қ сансыз (қ айтарымды) матрицамен берілсе, онда тек қ ана сонда, оператордың ө зі нұ қ сансыз (қ айтарымды) болады.