Анықтама

(: V V–сыз.опера.) def ( а, b V , F ( a + b)= (a)+ (b))

Бұ л анық тамадан, векторлық кең істікте берілген сызық тық оператор – сол кең істіктің эндоморфизмі екені тү сінікті.

Сызық тық оператордың анық тамадан шығ атын 2 қ арапайым қ асиеттері бар:

1 . = = 0 F болса, (0)= 0 сызық тық оператор нольдік векторды орынында қ алдырады (немесе сызық тық оператор нольдік векторды ө з – ө зіне кө шіреді).

2 . Оператордың сызық тық болу шартын бірнеше векторлар ү шін жалпылауғ а болады, яғ ни

( а +...+ а ) = (a )+...+ (а ).

Мысалдар.

1).Кезкелген V векторлық кең істігінде тепе – тең бейнелеу (х) = х (х V) сызық тық оператор болады. Шынында да, ( a + b) = a + b = (a) + (b) – сызық тық оператор.

Оны бірлік оператор дейді.

2). Кезкелген V векторлық кең істігінің барлық векторын нольдік векторғ а кө шіретін (х) = 0 (х V) бейнелеуі де сызық тық оператор болады. Шынында да, ( a + b) = 0 = 0 + 0 = (a) + (b) – сызық тық оператор.

Оны нольдік оператор дейді.

3).С –ү здіксіз функциялар кең істігінде бейнелеу ретінде дифференциал- дау заң дылығ ын d (f) = f ¢ алайық. Онда ол да сызық тық оператор болады. Шынында да, d ( a + b) = ( a + b)¢ = |дифференциалдау ережелері бойынша| = a ¢ + b ¢ = d (a)+ d (b) d – сызық тық оператор.

Оны дифференциалдау операторы дейді.

4). Айталық, V векторлық кең істігі ө зінің екі ішкі кең істігінің тура қ осындысы болсын: V = W W . Онда х = х + х бірмә нді ө рнектелуіндегі

х – х векторының W -ге проекциясы (W -ге параллель) деп,

х – х векторының W -ге проекциясы (W -ге параллель) деп аталады.

х векторына х векторын сә йкестікке қ оятын заң дылық ты қ арастырайық. Оны V кең істігін W ішкі кең істігіне (W -ге параллель) проекциялау деп атап, деп белгілейді: (х) = х .

(Сә йкесінше, (х) = х алынса, ол V кең істігін W ішкі кең істігіне (W -ге параллель) проекциялау болады).

Қ осынды тура қ осынды болғ андық тан, ә рбір х векторы ү шін х бірмә нді анық талады. Сондық тан заң дылығ ы, шынында да, бейнелеу болады. Осы бейнелеуі сызық тық оператор болатынын ө зің із тексерің із.

Оны проекциялау операторы дейді.

5). F ө рісінде берілген кезкелген V векторлық кең істігінде, тұ рақ тандырылғ ан F скаляры ү шін, (х) = х (х V) бейнелеуі де сызық - тық оператор болады. (Тексерің із).

Оны ұ қ састық операторы дейді.