Сызықтық оператордың әр түрлі базистегі матрицаларының байланысы

Айталық, n ө лшемді V векторлық кең істігінде екі базис берілсін:

е , е ,..., е I базис

е ¢ , е ¢ ,..., е ¢ II базис.

Онда олар кө шу матрицасы арқ ылы байланысады:

= Т· .

Т матрицасы I-ші базистен II-ші базиске кө шу матрицасы болады. Кө шу матрицасы нұ қ сансыз матрица, яғ ни det T 0. Сондық тан, оғ ан кері матрица бар жә не ол Т – II -ші базистен I-ші базиске кө шу матрицасы болады:

= Т · .

Айталық, V кең істігінде сызық тық операторы берілсін жә не оның I, II базистердегі матрицалары, сә йкес, А , В делік. Онда (2¢) формуласы бойынша мына екі тең діктерді аламыз.

= А · ; = В · ; (*)

Біз А , В матрицаларының байланысын табуымыз керек. Ол ү шін (*) формуласын, екінші жағ ынан, операторының анық тамасымен жазайық:

= ()= (Т· )=| сыз.оп.| = Т· () =Т· =Т·А · = Т·А ·Т · ; (**)

Сонда, () (i= 1, 2, …, n) векторларының екі тү рлі жіктелуін алдық. (*), (**) формулаларынан, вектордың базис арқ ылы жіктелуі бірмә нді болғ андық тан, В =Т·А ·Т тең дігін аламыз. Бұ л бір ғ ана сызық тық оператордың ә р тү рлі базистегі матрицаларының байланысын кө рсететін формула.

Анық тама. Егер бірдей ретті квадрат А, В матрицалары ү шін нұ қ сансыз S матрицасы табылып, А = S·В·S тең дігі орындалса, онда А, В матрицаларын ұ қ сас деп атайды.

Ұ қ сас матрицалардың анық тауыштары тең болады. Шынында да, |А| = |S·В·S |=|S|·|В|·|S | = | S|·|В|· = |В|.

Сонда, жоғ арыда алынғ ан формуладан, векторлық кең істікте берілген бір сызық тық оператордың ә р тү рлі базистегі матрицалары ұ қ сас матрицалар болады.