Сызықтық оператордың ядросы мен образы

Айталық, L(V ) берілсін.

Анық тама. V кең істігінің, сызық тық операторының нә тижесінде нольдік векторғ а кө шетін векторларының жиынын сызық тық операторының ядросы деп атайды жә не ker деп белгілейді. (kernel – ядро). Сонда,

ker = х V | (х) = 0 .

Анық тамадан ker V болатыны тү сінікті.

Лемма. Сызық тық оператордың ядросы V кең істігінің ішкі кең істігі болады.

Дә лелдеу. Ішкі кең істіктің критериі бойынша дә лелдейміз (қ ара, §2, теорема).

Айталық х, у ker (х) = 0 & (у) = 0. х+у ker –?

(х + у) = (х) + (у) = 0 + 0 = 0 х+у ker .

F, ( х) = (х) = 0 = 0 х ker . Онда ker – ішкі кең істік.

Анық тама. сызық тық операторының ядросының ө лшемі сызық тық оператордың дефектсі деп аталады. Белгілеуі def . Сонда,

def = dim (ker ).

Дефект – ол сан. Ол сызық тық оператордың тек ө зіне ғ ана байланысты, оның берілу ә дісіне байланысты емес. Дефект – сызық тық оператордың инварианты.

Лемма. Сызық тық оператор нұ қ сансыз болуы ү шін оның ядросы жалғ ыз нольдік вектордан тұ руы қ ажет жә не жеткілікті. (Дә лелсіз).

Анық тама. V кең істігінің, сызық тық операторының нә тижесінде прообраздары бар векторларының жиынын сызық тық операторының образы немесе мә ндерінің жиыны деп атайды жә не im деп белгілейді. (image – образ). Сонда, im = х V | z V (z) = x немесе im = (z) | z V .

Анық тамадан im V болатыны тү сінікті.

Лемма. Сызық тық оператордың образы V кең істігінің ішкі кең істігі болады.

Дә лелдеу. Ішкі кең істіктің критериі бойынша дә лелдейміз.

Айталық х, у im х= (z) & у = (t), z, t V . x+y im –? x + y = (z) + (t) = (z +t) х+у im .

F, х = (z) = ( z) х im . Онда im – ішкі кең істік.

Анық тама. сызық тық операторының образының ө лшемі сызық тық оператордың рангсы деп аталады. Белгілеуі rang . Сонда, rang = dim (im ).

Ранг – ол сан. Ранг да дефект тә різді сызық тық оператордың берілу ә дісіне байланысты емес, оның тек ө зіне ғ ана байланысты. Ол да – сызық тық оператордың инварианты болады.

Лемма. Сызық тық оператордың рангсы оның матрицасының рангсына тең болады. (Дә лелсіз).

Сызық тық оператордың рангсы мен дефектсі бір-бірімен байланысты, атап айтқ анда мына тұ жырымдама дұ рыс болады.

Теорема. Сызық тық оператор берілген векторлық кең істіктің ө лшемі сол оператордың дефектсі мен рангсының қ осындысына тең болады:

dim V = def + rang немесе dim V = dim (ker ) + dim (im ).

Теореманы дә лелсіз қ абылдаймыз.

Ескерту. Соң ғ ы тең діктен V = ker + im тең дігі шық пайды.