Жай спектрлі сызықтық операторлар

Анық тама. Векторлық кең істіктегі сызық тық операторының барлық меншікті мә ндерінің жиыны сол оператордың спектрі деп аталады жә не Sp деп белгіленеді. Сонда

Sp = F | a 0 V (a) = а

Спектрдің элементтерінің саны п – нен аспайды (п = dim V).

Анық тама. Егер спектрдің элементтерінің саны дә л п – ғ а тең болса, онда оны жай спектр деп атайды.

Лемма. Сызық тық оператордың ә ртү рлі , ,..., – меншікті мә ндеріне сә йкес келетін а , а ,..., а – меншікті векторлары СБ-сыз болады.

Дә лелдеу. Берілгені бойынша (a ) = а , i= 1, 2,..., m.

Лемманы m арқ ылы индукция ә дісімен дә лелдейміз.

Индукция негізі: m = 1 болғ анда меншікті мә ніне сә йкес келетін меншікті вектор а . Жалғ ыз вектор, ә рине, сызық тық байланыссыз болады. Онда бұ л жағ дайда лемма дұ рыс.

Индукциялық болжау: m = к болғ анда лемма дұ рыс делік, яғ ни , ,..., – ә ртү рлі меншікті мә ндерге сә йкес а , а ,..., а меншікті векторлары СБ-сыз болсын. Бұ л а + а +...+ а = 0 = =...= = 0 деген сө з.

Индукциялық қ адам: m = к +1 болғ анда лемманың дұ рыстығ ын кө рсетейік. Ә ртү рлі , ,..., меншікті мә ндерге сә йкес келетін а , а ,..., а меншікті векторларының сызық тық комбинациясын қ арастырайық.

а + а +...+ а + а = 0 (*)

Тең діктің екі жағ ындағ ы векторлардың сызық тық операторының нә тижесіндегі образдарын табамыз. ( а + а +...+ а + а )= (0) | -с.оп., а -менш.вект.| а + а +...+ а + а = 0 (**)

(*) ө рнегін – ге кө бейтіп, (**) ө рнегінен мү шелеп алып тастаймыз:

( - ) а + ( - ) а +...+ ( - ) а = 0 | инд.болж.бойынша|

= =...= = 0 (себебі, –лер ә ртү рлі). Осыны (**)-ғ а қ ойсақ,

а = 0 тең дігін аламыз. Бұ дан = 0 ( – менш.мә н, ол 0). Сонда, (*)ө рнегіндегі барлық = 0, i= 1, 2,..., к+ 1.Сондық тан а ,..., а –СБ-сыз.

Онда, математикалық индукция принципі бойынша лемма кезкелген m ү шін дұ рыс. Д.к.о.

Салдар. Егер сызық тық оператордың спектрі жай спектр болса, онда барлық меншікті мә ндерге сә йкес келетін меншікті векторлар векторлық кең істіктің базисін қ ұ райды. Дә лелдеуі леммадан шығ ады (ө здерің із дә лелдең із).

Теорема. Егер векторлық кең істіктің базисі СБ-сыз п меншікті вектордан тұ рса, онда сызық тық оператордың осы базистегі матрицасы диагональ матрица болады. Жә не керісінше, егер сызық тық оператордың қ андайда-бір базистегі матрицасы диагональ болса, онда осы базистің барлық векторлары меншікті векторлар болады.

Дә лелдеу. Айталық, V кең істігінің базисі а , а ,..., а – сызық тық операторының СБ-сыз п меншікті векторларыболсын. Сонда

..., . Онда базистің қ асиеті бойынша:

Бұ л тең діктерден, а , а ,..., а базисіндегі сызық тық операторының матрицасы – () тү ріндегі диагональ матрица болатыны шығ ады.

Кері тұ жырымды дә лелдейік. Айталық қ андайда-бір а , а ,..., а базисіндегі сызық тық операторының матрицасы () тү ріндегі диагональ матрица болсын. Онда (§5, (2¢) формуласы бойынша)

немесе, матрицаларды кө бейтсек, , яғ ни базистің а ,..., а векторлары сызық тық операторының меншікті векторлары болады. Д.к.о.

Дә лелденген лемма, салдар, теоремадан мынадай қ орытынды аламыз:

Егер ө рісте берілген векторлық кең істіктегі сызық тық оператордың спектрі жай спектр болса, онда ол оператордың матрицасы диагональ тү рге келтіріледі.

Егер де спектрдің элементтерінің саны п- нен кіші болса, басқ аша айтқ анда, характеристикалық тең деудің кейбір тү бірлері еселі тү бірлер болса, онда оператордың матрицасының диагональ тү рге келтірілу-келтірілмеуі СБ-сыз меншікті векторлардың санына байланысты болады. Егер мұ ндай меншікті векторлар саны п- ғ а тең болса, матрица диагональ тү рге келтіріледі, ал ол сан п- нен кем болса – келтірілмейді. Негізінде, сызық тық оператордың характеристикалық тең деуінің тү бірлерінің арасында ө зара тең дері болғ ан жағ дайда, оператордың матрицасын диагональ тү рге келтіру мә селесі кү рделі мә селе.

Мысал. 1) R векторлық кең істігінде сызық тық операторы қ андайда-бір базисте мынадай матрицамен берілсін:

Жаң а базиске кө шу арқ ылы осы оператордың матрицасын диагональ тү рге келтіруге бола ма? Болса, сол базисті жә не сә йкес матрицаны табың ыз.

Шешуі.

Сонда, , , , меншікті мә ндердің саны 3-ке тең, кең істіктің ө лшеміне тең, онда матрица диагональ тү рге келтіріледі.

Ә рбір меншікті мә нге сә йкес меншікті векторларды табамыз. Вектордың координаталары болса, §10-ғ ы (11; 4) жү йе

(11; 4 ) ө рнегінен алынады. Ә рбір меншікті мә нді осығ ан қ оямыз.

Мынадай жү йе аламыз:

сандарына кө бейтіп, қ осып, Гаусс ә дісімен шешеміз.

х , х – бас айнымалылар, х – бос айнымалы.

бұ л – жү йенің жалпы шешуі.

Бос айнымалығ а ө зіміз мә н береміз: х =5, онда х –2, х 4. Сонда, меншікті мә ніне сә йкес меншікті вектор а (–2, 4, 5), яғ ни .

жү йесін аламыз.

Гаусс ә дісімен шешеміз: , бас, бос айнымалы.

– жү йенің жалпы шешуі. Бос айнымалығ а мә н береміз: х =1, онда х 0, х 1. Сонда, меншікті мә ніне сә йкес меншікті вектор а (0, 1, 1), яғ ни .

жү йесін аламыз.

Гаусс ә дісімен шешеміз: , бас, бос айнымалы. Бас айнымалылар бос айнымалығ а тә уелді емес: Бос айнымалығ а мә н береміз: х =1. Сонда, меншікті мә ніне сә йкес меншікті вектор а (0, 0, 1), яғ ни .

Жоғ арыдағ ы лемманың салдары бойынша, табылғ ан а , а , а векторлары базис қ ұ райды жә не берілген сызық тық операторының осы базистегі матрицасы диагональ матрицасы болады.