Сызықтық оператордың меншікті векторлары мен меншікті мәндері

n 1. Матрицаның характеристикалық кө пмү шелігі мен характеристикалық тең деуі

Айталық, А –элементтері F ө рісіне тиісті n -ші ретті квадрат матрица болсын:

А = немесе қ ысқ аш А = (), i, j =1, 2, …, n.

F делік. Берілген А матрицасымен қ оса А– Е матрицасын қ арастырамыз.

А– Е = .

Соң ғ ы А– Е матрицасының анық тауышы |А– Е| – -ғ а байланысты n -ші дә режелі кө пмү шелік болады:

|А– Е| = = a + a + a +…+ a + a .

Бұ л кө пмү шелікте -нің коэффициенті a = (-1) , -нің коэффициенті a А матрицасының бас диагоналы элементтерінің қ осындысына (a = + + +... + ), бос мү шесі a А матрицасының анық тауышына тең болады (a = det А).

Мысал. А= , R. А– Е = ;

|А– Е| = = (жоғ арыда айтқ анымыздан, – +3 +? +2 тү ріндегі кө пмү шелік шығ уы керек) = (1– ) –(1– )+2(1– ) =1–3 +3 – –– 1+ +2–2 = – +3 –4 +2.

Матрица 3-ші ретті болғ анда, -ның коэффициенті А матрицасының негізгі 3 анық тауышының қ арама–қ арсы таң бамен алынғ ан қ осындысына тең болады.

Анық тама. |А– Е| кө пмү шелігін А матрицасының характеристикалық кө пмү шелігі деп атайды. Оны () деп белгілейміз.

Анық тама. () = |А– Е| = 0 тең деуі А матрицасының характеристикалық тең деуі деп, ал ол тең деудің тү бірлері А матрицасының характеристикалық сандары деп аталады.

Ескерту. Алгебраның негізгі теоремасынан, характеристикалық тең деудің С – комплекс сандар ө рісінде ең болмағ анда бір тү бірі болатыны белгілі.

Айталық, Т – элементтері F ө рісіне тиісті нұ қ сансыз n -ші ретті квадрат матрица болсын. Онда В = Т·А·Т матрицасы А матрицасына ұ қ сас екенін білеміз. Осы В матрицасының характеристикалық кө пмү шелігін есептейік.

|В– Е| = | Т·А·Т – Е| = | Т·А·Т – Т·Е·Т | = | Т·(А – Е)·Т | = |Т|·|А– Е|·| Т | = |Т||·| Т |·|А– Е| = |А– Е|.

Сонда, ұ қ сас матрицалардың характеристикалық кө пмү шеліктері тең.

Олай болса, барлық ұ қ сас матрицалардың характеристикалық кө пмү шеліктері – () тең болады; онда () = 0 – характеристикалық тең деулері де жә не характеристикалық сандары да тең болады.

Егер А жә не В = Т·А·Т ұ қ сас матрицаларын V кең істігіндегі бір ғ ана сызық тық операторының ә ртү рлі базистегі матрицалары деп қ арастырсақ, онда осы нә тижелерден тө мендегідей қ орытындығ а келеміз:

Сызық тық оператордың матрицасының характеристикалық сандары базиске тә уелді емес.Сондық тан, оларды сызық тық оператордың характеристикалық сандары деп атайды.

Ескерту. () = |А – Е| характеристикалық кө пмү шелігін сызық тық операторының характеристикалық кө пмү шелігі деп, ал () = |А – Е| = 0 характеристикалық тең деуін сызық тық операторының характеристикалық тең деуі деп атайды.