Сызықтық оператордың матрицасы

Айталық, V – F ө рісінде берілген n ө лшемді векторлық кең істік,

е , е ,..., е – оның қ андайда-бір тұ рақ тандырылғ ан базисі, ал

b , b , …, b – оның кезкелген-бір векторларының жү йесі болсын.

Теорема. Берілген V кең істігінің е (i= 1, 2,..., n) базистік векторларын сә йкес

b векторларына кө шіретін бір ғ ана сызық тық оператор табылады.

Дә лелдеу. Базистің қ асиеті бойынша, кезкелген х V векторы ү шін

x = e + e +…+ e = = .

Осы х векторына сә йкестікке b + b +…+ b = векторын қ оялық. Ол заң дылық ты деп белгілейік. Сонда (х) = () = (1)

Осылайша анық талғ ан (х) векторы кең істіктің толық анық талғ ан векторы болады, яғ ни (1) формула бейнелеуін береді. Осы бейнелеу сызық тық оператор бола ма? Сызық тық шартын тексереміз. Ол ү шін у V векторын

Алайық. у = ((1)бойынша) (у)= ( х+ у)= ( + )=|в.к.акс.|= ()=|(1) бой. | = =|в.к.акс.|= + = | (1) бой. | = (х) + (у).

Онда бейнелеуі сызық тық оператор. (Табылатыны дә лелденді).

Осы оператор базистік векторларды сә йкес b векторларына кө шіретінін дә лелдеу ү шін (1) формуладағ ы скалярлардың орынына F ө рісінің мына коэффициенттерін қ оямыз:

1 0... 0

0 1... 0

............

0 0... 1

Сонда (e ) = b , (е ) = b ,..., (е ) = b .

Енді бірмә нділігін дә лелдейік. Кері жориық.

Айталық, V кең істігінде базистік е векторларын, сә йкес, b векторларына тү рлендіретін тағ ы бір сызық тық оператор бар делік: (е ) = b (i= 1, …, n).

Оның операторымен беттесетінін дә лелдеу керек. Ол ү шін кезкелген х V векторы ү шін (х) = (х) болатынын кө рсету керек.

(х)= ()=| –сыз.опер.|= = = |(1) бой.| = (х) = . д.к.о.

Дә лелденген теорема, векторлық кең істікте сызық тық оператор берілуі ү шін базистік векторлардың образдары – (e), (е)..., (е) берілуі жеткілікті екендігін кө рсетеді.