Сызықтық байланысты және сызықтық байланыссыз векторлар жүйелері

n 1. Сызық тық байланысты (СБ) жә не сызық тық байланыссыз (СБ-сыз) векторлар жү йелерінің анық тамасы, мысалдары.

Айталық, V = V, +, F – F ө рісінде берілген векторлық кең істік, ал а , а ,..., а V (1) векторлар жү йесі болсын.

Анық тама. Егер скалярлар ө рісінен бә рі бірдей нольге тең болмайтын , ,..., скалярлары табылып, а + а +... + а векторы нольдік вектор болса, онда (1) векторлар жү йесін сызық тық байланысты (СБ) дейді.

((1)СБ def) ( , ,..., F. а + а +... + а = 0)

СБ ұ ғ ымы жазық тық та коллинеар, кең істікте компланар ұ ғ ымдарын береді.

Анық тама. Егер (1) векторлар жү йесінің а + а +..+ а сызық тық комбинациясы тек , ,..., скалярларының бә рі ноль болғ анда ғ ана нольдік векторғ а тең болса, онда ол жү йені СБ-сыз дейді.

((1)СБсыз def) ( , ,..., F ( а + а +... + а = 0 =...= = 0))

Мысалдар.

1). F – n ө лшемді арифметикалық векторлық кең істіктің

а = (, 0,..., 0)

а = (0, ,..., 0),

..............

а = (0, 0,..., )

векторлары СБ-сыз жү йе болады. Жеке жағ дайы, R кең істігінде

а = (3, 0, 0),

а = (0, -5, 0),

а = (0, 0, )

векторларының жү йесі СБ-сыз. Бұ л кең істікте (1, 0, 0),

(0, 1, 0),

(0, 0, 1) векторларының жү йесі де СБ-сыз екені тү сінікті. Бұ лар R кең істігінің бірлік векторлары.

2). Жазық тық тағ ы бір О нү ктесінен шығ атын бағ ытталғ ан кесінділер кең істігінің сол О нү ктесінен шығ атын, ө зара перпендикуляр кезкелген екі векторы СБ-сыз жү йе болады.

3).М (R) – 2-ші ретті квадрат матрицалар кең істігінде

А = , А = , А = , А =

векторлары (матрицалары) СБ-сыз жү йе болады.

n 2. СБ жә не СБ-сыз векторлар жү йелерінің қ асиеттері

1 . Қ ұ рамында нольдік вектор бар жү йе СБ болады.

Дә лелдеу. а , 0, а ,..., а векторларының жү йесі берілсін.

F скалярлар ө рісінің 0, 0, 0,..., 0 элементтері ү шін

0 а + 0 + 0 а +... + 0 а = 0

д. к. о.

2 . Қ ұ рамында ө зара тең векторлары бар жү йе СБ болады.

Дә лелдеу. а , а , а ,..., а векторларының жү йесі берілсін.

F скалярлар ө рісінің 0, – 0, 0,..., 0 элементтері ү шін

а + (– ) а + 0 а +... + 0 а = 0 д. к. о.

3 . Қ ұ рамында пропорционал векторлары бар жү йе СБ болады.

Дә лелдеуі ө збетімен.

4 . Егер векторлар жү йесінің қ андайда бір ішкі жү йесі СБ болса, онда жү йенің ө зі де СБ болады.

Дә лелдеу. а , а ,..., а векторлар жү йесі берілсін.

а ,..., а – СБ болсын (i < к). Онда СБ-ң анық тамасы бойынша

,..., F а +... + а = 0

,..., , 0,..., 0 F а +... + а + 0а +...+ 0а = 0 д.к.о.

Салдар. Егер векторлар жү йесі СБ-сыз болса, онда оның кезкелген ішкі жү йесі де СБ-сыз болады.

5 . (Векторлар жү йесінің СБ – лығ ының критериі)

Векторлар жү йесі СБ болу ү шін оның бір векторы қ алғ андарының сызық тық комбинациясы болуы қ ажет жә не жеткілікті.

Дә лелдеуі ө збетімен (қ ара, 1 , 2 тарау, §2, 48 бет).

6 . Егер а , а ,..., а векторлар жү йесі СБ-сыз болса, ал а , а ,..., а , b

векторлар жү йесі СБ болса, онда b векторы а , а ,..., а жү йесі арқ ылы сызық тық ө рнектеледі.

Дә лелдеуі ө збетімен.

7 . Егер b L(а , а ,..., а ) жә не i =1, 2, …, к а L(v , v ,..., v ) болса, онда b L(v , v ,..., v ).

(Дә лелсіз қ абылдаймыз).

8 . Егер а , а ,..., а L(v , v ,..., v ) болса, онда а , а ,..., а – СБ болады.

(Дә лелсіз қ абылдаймыз).

Салдар 1. Егер а , а ,..., а L(v , v ,..., v ) жә не а , а ,..., а – СБ-сыз болса, онда к т болады.

Бұ л салдарды, кейде, векторлық кең істіктің негізгі теоремасы деп те айтады.

Салдар 2. Егер а , а ,..., а L(v , v ,..., v ) жә не к > m болса, онда а , а ,..., а – СБ болады.

Салдар 3. n ө лшемді арифметикалық векторлық кең істікте кезкелген n +1 вектордан (немесе одан да кө п вектордан) тұ ратын жү йе СБ болады.

Мысал. R кең істігінде

а = (2, -3, 1),

а = (3, -1, 5),

а = (1, -4, 3) векторларының СБ немесе СБ-сыз болатынын анық таң ыз.

Шығ аруы. Анық тама бойынша а + а + а = 0 тең дігінен – ларды та – бамыз. Бізге – лардың бә рі ноль ме, ә лде нольден ө згелері табыла ма?, соны анық тау керек. Бізге оларды х – тар арқ ылы белгілеген қ олайлы. Сондық тан

х а + х а + х а = 0 тең деуін шешеміз.

(2 х , -3 х , х ) + (3 х , - х , 5 х ) + (х , -4 х , 3 х ) = (0, 0, 0)

Кортеждерді қ осу ережесінен тө мендегідей біртекті СТЖ – сін аламыз:

Осы біртекті жү йенің нольдік емес шешулері бар ма, ә лде тек нольдік шешу ғ ана бола ма? Бұ л сұ рақ қ а жауап беру ү шін жү йенің негізгі матрицасының рангсын есептейді. Егер ранг 3-ке тең болса, онда тек нольдік шешу ғ ана болады; ал ранг 3-тен кіші болса, СТЖ –ң нольдік емес шешулері де болады.

– жү йенің матрицасы. (Берілген векторлармен салыстыр!).

Матрицаның жолдық жә не бағ андық ранглары тең болғ андық тан, бұ л матрицаның орынына транспонирленген матрицаның рангсын табуғ а болады.

– транспонирленген матрица. (Берілген векторлармен салыстыр!).

Сонымен, 3 – ө лшемді арифметикалық векторлық кең істікте берілген векторлар жү йесінің СБ не СБ-сыз болатынын анық тау ү шін олардың координаталарынан матрица қ ұ рып, оның рангсын есептейміз. Егер ранг 3–ке тең болса, онда векторлар жү йесі СБ-сыз болады; ал ранг 3–тен кіші болса, – СБ болады